eletromagnetismo

 

 

 

 

Eletromagnetismo - Parte II

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eduardo Fontana, PhD

Professor Titular

Departamento de Eletrônica e Sistemas

Universidade Federal de Pernambuco

 1a. Edição - Versão 1.0 - 30/07/2013
Versão atual - 2.0 – 01/06/2017
Copyright 2011/2012/2013/2017 by Eduardo Fontana

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Recife, 2011, 2013/2017

Copyright 2011/2012/2013/2017 by Eduardo Fontana

 

 

 

Índice

Capítulo 11 - Radiação e Antenas – Princípios Básico

  1.  Capítulo 11 - Radiação e Antenas – Princípios Básicos
    1.  
    2. 11.1 Introdução
    3. 11.2 Potenciais eletromagnéticos
    4. 11.3 Equações diferenciais para os potenciais no vácuo
    5. 11.4 Potenciais eletromagnéticos na condição de Lorentz
      1. 11.4.1 Solução da equação de onda escalar não-homogênea para uma fonte puntiforme
      2. 11.4.2 Solução da equação da onda não-homogênea para cargas e correntes distribuídas
    6. 11.2 Radiação produzida por um dipolo elétrico
    7. 11.3 Potenciais e campos no regime harmônico
    8. 11.5 Método formal de determinação de campos de radiação
    9. 11.6 Estruturas radiantes simples e parâmetros de antenas
      1. 11.6.1 Antena Dipolo
      2.  
      3. 11.6.2 Parâmetros característicos de antenas
        1. A. Intensidade de radiação
        2. Fig.11.13 Dependência da resistência de radiação com o comprimento relativo para uma antena dipolo.
        3.  
        4. B. Resistência de radiação
        5. C. Diretividade
        6. D. Ganho absoluto de uma antena
        7. E. Ganho relativo de uma antena
    10. Problemas


                                                                                                                                                                                       


Capítulo 11 - Radiação e Antenas – Princípios Básicos

 

11.1 Introdução

 

            O objetivo deste Capítulo é introduzir a formulação para a análise das propriedades de emissão de energia eletromagnética de flutuações de carga em uma região localizada do espaço.  Essa flutuação de carga está sempre presente em sistemas eletromagnéticos e sempre há algum vazamento de energia nesses sistemas que se propaga no espaço circunvizinho. Para o intercâmbio de informação, é possível projetar radiadores eletromagnéticos eficientes, mais comumente denominados de antenas. Por um princípio conhecido como o princípio da reciprocidade, esses dispositivos têm propriedades semelhantes tanto para recepção como para emissão de energia eletromagnética. 

 

            Antenas são geralmente as terminações em uma linha de transmissão ou em um circuito impresso que recebem o sinal eletromagnético do gerador e emitem esse sinal no espaço com uma eficiência e diretividade que depende essencialmente de sua configuração geométrica  e da freqüência. Algumas configurações tipicamente utilizadas estão ilustradas na Fig.11.1. Projetar um sistema eficiente de emissão e detecção de radiação eletromagnética requer familiaridade com as equações não-homogêneas que relacionam o campo a sua fonte, que é o objeto do presente Capítulo.

 

 

 

 

 

 

Fig.11.1 - Alguns tipos comuns de antenas

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11.2 Potenciais eletromagnéticos

 

            Cálculos de radiação produzida por flutuações de carga, como por exemplo, aquelas decorrentes da distribuição não uniforme de corrente em uma antena, requer a solução das equações de Maxwell no regime não-homogêneo.  A solução dessas equações nessa situação é grandemente facilitada com o emprego de funções auxiliares, denominadas de potenciais eletromagnéticos.   Estes são tratados a seguir.

 

No caso eletrostático

                                                         ,

                                                     .

 

No caso magnetostático

 

                                    , .

 

Em ambos os casos basta determinar os respectivos potenciais das equações não-homogêneas e as grandezas de campo ficam determinadas.

 

Para campos variantes no tempo, as equações de Maxwell são reescritas na forma:

 

·           Equações homogêneas (ausência de fontes no segundo membro):

 

                                                               ,                                                     (11.1)

 

                                                                    .                                                          (11.2)

 

·           Equações não-homogêneas (presença de fontes no segundo membro):

 

                                                                   ,                                                         (11.3)

 

                                                              .                                                    (11.4)

 

De (11.2) pode-se definir o potencial vetor magnético  pela relação

 

                                                                   .                                                         (11.5)

 

Inserindo essa expressão em (11.2) obtém-se

 

                                                             .                                                    (11.6)

 

Essa relação permite definir o potencial escalar de

 

                                                               ,

ou equivalentemente

 

                                                               .                                                     (11.7)

 

Em resumo, determinados  e  , os campos são obtidos de

                                                                   ,                                                         (11.5)

 

                                                               .                                                     (11.7)

 

11.3 Equações diferenciais para os potenciais no vácuo

 

            Rigorosamente, o vácuo é o único meio em que há uma relação linear entre campos. Admitindo no entanto a aproximação em que o meio de imersão da distribuição de cargas e correntes seja linear, homogêneo e isotrópico, sem dispersão, as relações entre grandezas de campo no regime variante no tempo ficam reduzidas a

 

                                                                     ,                                                           (11.8)

 

                                                                     .                                                           (11.9)

 

Inserindo (11.8) em (11.3) com o emprego de (11.7) fornece

 

                                                          .                                              (11.10)

 

Utilizando (11.5) e (11.9) em (11.4) com o auxílio de (11.8) fornece

 

                                                 ,

ou equivalentemente

 

                                            ,                                (11.11)

 

em que, como já identificado anteriormente,

 

                                                                                                                              (11.12)


é a velocidade da luz no meio.

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Usando a identidade vetorial

                                                  

 

no primeiro membro de (11.11), fornece, após um rearranjo de termos,

 

                                         .                             (11.13)

 

Em resumo, as equações diferenciais para os potenciais são

 

                                                          ,                                              (11.10)

 

                                         ,                             (11.13)

 

com v dado por (11.12).

 

 

Observações:

·            Obtém-se apenas duas equações diferenciais para os potenciais (embora a equação para o potencial vetor corresponda a três equações)

·            As equações diferenciais são acopladas.

 

            Uma vez que apenas o rotacional do potencial vetor está especificado, e a completa obtenção dessa grandeza requer também o conhecimento do divergente, este pode ser escolhido de forma arbitrária sem que isso provoque alteração na solução para os campos eletromagnéticos. Há algumas especificações muito utilizadas na teoria eletromagnética, sendo a mais simples aquela em que .  Essa condição, também conhecida como condição de Coulomb, corresponde àquela utilizada no regime estático. Essa escolha fornece soluções para os potenciais que não evidenciam os efeitos da propagação eletromagnética no meio. Uma segunda possibilidade é a condição de Lorentz, tratada a seguir.

 

11.4 Potenciais eletromagnéticos na condição de Lorentz

 

 

            A condição de Lorentz é aquela que permite anular o último termo do primeiro membro de (11.13), i.e., 

                                                             .                                                (11.14)

Nessa condição, as equações diferenciais para os potenciais se tornam

                                                           ,                                              (11.15)

                                                                                                         (11.16)


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            Essas são equações desacopladas não-homogêneas e ambas estão na forma clássica da equação da onda não-homogênea.  Ou seja, a condição de Lorentz é útil pois resulta em um par de equações diferenciais desacopladas.  Espera-se, com base no tipo de equação diferencial representativa de (11.15) e (11.16) que a solução para os potenciais tenha o comportamento clássico representativo de propagação eletromagnética.

 

11.4.1 Solução da equação de onda escalar não-homogênea para uma fonte puntiforme

 

            Admitindo que o meio de imersão das fontes do campo seja infinitamente extenso sem fronteiras, pode-se resolver a equação escalar (11.15). A partir disso a solução de (11.16) é facilmente obtida, decompondo ambos os membros dessa equação em coordenadas cartesianas, e resolvendo cada equação resultante.

 

            Considere (11.15) para o caso de uma distribuição de carga localizada na origem, em que o volume ocupado seja praticamente nulo, conforme ilustrado na Fig.11.2.  A densidade de carga é . De acordo com esse ponto de vista a carga é praticamente puntiforme, i.e., extremamente concentrada na origem. Isso implica na condição

 

                                                             ,                                                 (11.17)

 

                                                                                                  (11.18)

 

Fig.11.2 Geometria para o cálculo do potencial escalar de uma carga localizada.

 

Para ,  e (11.15) fornece

 

                                                       .                                           (11.19)

 

Devido à simetria esférica do problema, tem-se, e portanto

 

                                                                                                      (11.20)

 

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Antes de prosseguir, note que

 

 

 

Alternativamente

 

                                 ,

 

ou seja

 

                                                  .                                      (11.21)

 

Assim, (11.20) assume a forma

 

                                                            .                                                 (11.22)

 

A equação (11.19) é portanto da forma

 

                                                                                                  (11.23)

 

Em função do termo entre parêntesis em (11.23) define-se

 

                                                                                                              (11.24)

 

Inserindo (11.24) em (11.23) tem-se

 

                                                                                                              (11.25)

 

Esta representa a equação da onda, já analisada anteriormente.  Como foi mostrado no Capítulo 7, o argumento de f é da forma

 

                                                         .                                              (11.26)

 

A solução

 

                                                                                                                 (11.27)

 

representa uma onda cuja amplitude se mantém constante, no tempo t=T, na superfície

 

                                                                     .                                                         (11.28)

 

Ou seja, a superfície de amplitude constante da função é uma superfície esférica cujo raio se expande no tempo com velocidade v. Representa assim, o efeito da perturbação divergente causada pela flutuação de carga na origem.

 

            A solução

 

                                                                                                                           

 

por outro lado, representa uma perturbação cuja superfície esférica de amplitude constante se contrai com o tempo em direção à origem, ou seja, é uma perturbação convergente. Essa solução apesar de ser matematicamente possível, não está associada à flutuação de carga na origem.  Com essas considerações, o potencial tem forma geral

 

                                                          .                                              (11.29)

 

A equação (11.29) representa uma onda esférica divergente. A variação com o inverso da distância, implica na conservação da potência eletromagnética, como será mostrado ainda neste Capítulo.

 

            Para completar a solução do problema, deve-se obter a forma de f. Esta pode ser obtida, analisando o comportamento de  próximo à origem, região na qual, a densidade de carga é não nula. Considere a integração da equação (11.15) em torno da origem, i..e,

 

                                                                           (11.30)

em que

 

                                                              ,                                                            

 

com  representando a variável de integração radial e

 

                                                                                                                         

 

o ângulo sólido diferencial. Dado que

 

                                                              ,                                                  (11.31)


independentemente do volume de integração, tem-se

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                                                .                                   (11.32)

 

Tomando um volume de raio  tem-se

 

                                   .                       (11.33)

 

O primeiro membro dessa expressão pode ser posto na forma

 

            .

 

O limite da segunda integral do segundo membro é

 

           

            .

 

 

Assim (11.33) reduz-se à forma

 

                                                      .                                           (11.34)

 

Para o cálculo da integral do primeiro membro, note que

 

           

 

ou ainda

                                                   .                                        (11.35)

 

Utilizando (11.29) essa última expressão assume a forma

                    

 

ou equivalentemente

                                          ,                              (11.36)

com . No limite tem-se

                             .

 

 

O primeiro termo do segundo membro dessa expressão tem limite nulo. Para o segundo termo

 

                                                         .                                             (11.37)

 

Esse resultado inserido em (11.36) e de volta em (11.34) fornece

 

 

                                                                  .                                                      (11.38)

 

Essa relação mostra simplesmente que o numerador da função potencial é simplesmente

 

 

                                                       .                                           (11.39)

 

e a solução da equação da onda não-homogênea para uma carga q localizada na origem é simplesmente

 

                                                          .                                              (11.40)

 

            A equação (11.40) é muito semelhante ao potencial de uma carga puntiforme na origem no regime estático. O que a (11.40) mostra é que uma flutuação de carga ocorrida no tempo t, só é percebida a uma distancia R, após transcorrido um intervalo de tempo R/v, em relação ao instante da flutuação.  A condição de Lorentz, produz assim, soluções retardadas condizentes com o princípio de causa e efeito associado à propagação de uma perturbação eletromagnética gerada por uma flutuação de carga.

 

 

11.4.2 Solução da equação da onda não-homogênea para cargas e correntes distribuídas

 

            Se a carga está localizada no ponto , o potencial no ponto  pode ser calculado na forma

 

                                                     .                                         (11.41)

 

            Dessa expressão, para uma distribuição de carga, conforme ilustrado na Fig.11.3, a contribuição de um elemento de carga dq localizado no ponto , é uma porção diferencial do potencial total no ponto  dado por

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                                                        .                                            (11.42)



Fig.11.3 Diagrama para o cálculo do potencial escalar de uma distribuição de carga.

 

Dado que

                                          ,

 

(11.42) assume a forma

 

 

                                                     ,

 

 e o potencial total é dado por

 

                                              .                                  (11.43)

 

A expressão (11.43) é a solução da equação da onda não-homogênea (11.15).

 

            A solução de (11.16) é obtida como extensão natural de (11.43). Para isso, decompõe-se (11.16) em coordenadas cartesianas, o que fornece

 

 

 

                                              .                                  (11.44)

 

Igualando as componentes de mesma direção em (11.44), três equações escalares são obtidas. A equação para a i-ésima componente é simplesmente

 

 

                                                         .                                            (11.45)

 

A solução de (11.45) que é semelhante a (11.15) é obtida por inspeção da solução (11.43), com as substituições ,  e  , o que fornece

 

                                            .                                (11.46)

 

A solução para o potencial vetor é obtida da soma vetorial

 

                                      ,

ou equivalentemente

 

 

                                                   .                                       (11.47)

 

            A solução (11.47) mostra a esperada relação de causa e efeito e ilustra a forma característica do potencial vetor de uma distribuição de corrente, semelhante em estrutura à expressão para o caso estático.

 

11.2 Radiação produzida por um dipolo elétrico

 

 

            Considere o exemplo de cálculo dos potenciais produzidos por um par de cargas formando um dipolo elétrico, conforme ilustrado na Fig.11.4.

 

As cargas positiva e negativa variam continuamente no tempo, de forma harmônica, i.e.,

 

                                                                                                              (11.48)

 

O potencial escalar, obtido como superposição de potenciais do tipo (11.40) é simplesmente

 

                                                                           

                                                                            (11.49)

 

em que

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                                                                                                                  (11.50)

 

representa o tempo retardado associado a cada carga localizada na posição

 

                                                                  .                                                      (11.51)

 

 

Fig.11.4 Sistema de coordenadas para o dipolo elétrico.

 

            Como no caso do potencial do dipolo elétrico, tem-se interesse em determinar o potencial a distâncias típicas que sejam grandes em relação à separação d, i.e.,  no regime

 

                                                            .

 

Nesse regime, as distâncias que aparecem nos denominadores de (11.48) podem ser aproximadas, na expansão em série de Taylor de 1a. ordem, introduzida no Capítulo 1, i.e.

 

                                                   ,                                       (11.52)

 

fazendo ,  , tem-se

                                                  .

Uma vez que

 

                                                              ,

 

a penúltima expressão se torna

 

                                                     .                                         (11.53)

 

Dado que em coordenadas esféricas

 

                                                                    ,

 

e tendo em vista (11.51), (11.53) assume a forma

 

                                                        .                                            (11.54)

 

Inserindo (11.55) em (11.49) fornece

 

                    .       (11.55)

 

Essa expressão pode ser ainda mais simplificada, levando em conta a diferença de tempos de retardo associados às posições das duas cargas.  Uma vez que esses tempos são muito próximos, como mostra (11.50), pode-se utilizar novamente uma expansão de Taylor em 1a. ordem do tipo

 

                                            ,                                (11.56)

 

em que

 

                                                                  .                                                     (11.57)

 

Antes de prosseguir é importante determinar as expansões em primeira ordem dos tempos retardados associados às duas cargas. Tem-se, em primeira ordem,

 

                              ,

 

e com base em (11.57)

                                                                                                                    (11.58)

 

Com isso, tendo em vista (11.56), os termos que aparecem em (11.55) ficam nas formas

 

                                            ,                                (11.59)

 

                                                 .                                     (11.60)

 

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A distância associada à diferença de tempos de retardo, que é o numerador do segundo termo do segundo membro de (11.58) está ilustrada geometricamente na Fig.11.5.

 

 

 

Fig.11.5 Ilustração da diferença de distâncias para um dipolo com R >>d.

 

 

            Com base em (11.55), (11.59) e (11.60), o potencial escalar assume a forma

 

                                                                        (11.61)

 

em que  é o número de onda no vácuo e

 

                                                                                                                           (11.62)

 

é o valor estático do momento de dipolo elétrico associado ao par de cargas, que varia no tempo na forma

 

                                                             .                                                 (11.63)

 

                                                                           

            A expressão (11.61) mostra que o potencial escalar do dipolo elétrico tem o termo originalmente previsto no caso estático, que corresponde ao segundo termo entre colchetes em (11.61), que dá uma contribuição do tipo

 

                                                          .                                               (11.64)

 

Por outro lado, o primeiro termo em (11.61) só está presente devido à pequena diferença de tempo entre as flutuações de carga nos pontos , o que fornece uma contribuição do tipo

 

                                                                                            (11.65)

 

            É exatamente a presença desse termo que fornece uma contribuição para a potência eletromagnética irradiada a grandes distâncias, como será examinado em mais detalhes ainda neste Capítulo. Note que essa contribuição advém da derivada temporal do momento de dipolo dado por (11.63).  É importante observar que o termo em todas essas expressões é uma função de R, como mostra (11.57).

 

            Para o cálculo do potencial vetor, usa-se a forma reduzida de (11.47)  para um elemento localizado de corrente. Nesse caso, conforme discutido no Capítulo 5 faz-se a substituição

 

                                                             ,                                                 (11.66)

 

e (11.47) reduz-se a

 

                                                               ,                                                  (11.67)



em que o denominador é calculado com o elemento de corrente localizado na origem.

 

            Para determinar a corrente que flui no sentido +z, utiliza-se o princípio da conservação da carga. Na situação mostrada na Fig.11.6, aplica-se esse princípio para uma superfície  fechada em torno da carga negativa.  Sendo i a corrente que flui para o exterior do volume fechado[1] a equação (4.23) fornece

 

                                                                    ,                                                        (11.68)

 

e com base em (11.48),

 

 

                                                               .                                                    (11.69)

 

e o potencial vetor, obtido de (11.67), é da forma

 

                                                                                                            (11.70)

 

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            Uma vez obtidos os potenciais escalar e vetor, pode-se confirmar a validade da condição de Lorentz.  Esse exercício faz parte de um dos problemas no final do Capítulo. Os campos podem ser obtidos de (11.5) e (11.7). Inserindo (11.70) em (11.5) fornece

 

                                                                                                 (11.71)


Utilizando a identidade (1.32), tem-se

 

                                            .                                (11.72)

 

 

 

Fig.11.6 – Diagrama para aplicação do princípio da conservação da carga.

 

 

Para a derivação do termo entre colchetes no segundo membro tem-se

 

 

                                                                           

 

 

e de (11.57)

 

                                                                    ,

 

e portanto

 

 

                                         ,                             (11.73)

 

e o vetor densidade de fluxo magnético é dado por

 

                                                                        (11.74)

 

Uma vez que , obtém-se finalmente

 

 

                                                                      (11.75)

 

O campo magnético é simplesmente

 

                                          ,

ou equivalentemente

 

                                        ,                            (11.76)

 

com  representando a impedância de onda do vácuo.

 

 

            O campo elétrico é obtido de (11.7).  De (11.70)

                                                        .

 

 

Dado que , tem-se

           

                                                                                                    (11.77)

 

De (11.61)

                                             
                    

 

Dado que em coordenadas esféricas

                                                   ,

tem-se

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                                               (11.78)



 

            A derivada radial de (11.78), obtida após rearranjar os termos em seno e cosseno, é

                                    (11.79)

 

 

A derivada angular em (11.78) é

 

                                                 ,                                     (11.80)

 

 

com a última derivada na expressão anterior já tendo sido obtida no Capítulo 1.

 

            Inserindo (11.79) e (11.80) em (11.78) fornece

 

                            (11.81)



 

Essa expressão pode ainda ser rearranjada na forma

 



ou equivalentemente

.    (11.82)

 

Em (11.82) utilizou-se a decomposição

 

                                                  .                                      (11.83)

 

            Inserindo (11.77) e (11.82) em (11.7) fornece

 



 

ou com base em (11.83) e notando que , resulta em

 

                   (11.84)

 

            A expressão (11.84) mostra que o campo elétrico tem um termo que varia com o inverso da distância, na forma de uma onda esférica, e termos que decaem mais rapidamente com a distancia. O termo em  corresponde ao termo de dipolo elétrico que seria obtido para um campo estático. O termo em é o termo de dipolo elétrico com a inclusão da contribuição advinda da diferença de tempo entre as flutuações de carga nos pólos do sistema, conforme sentida a uma distância R da origem.

 

            Um exame das equações (11.76) indica que o termo em  se torna dominante para

 

                                                               ,

 

ou equivalentemente

                                                                .

 

Nesse regime, os campos assumem valores assintóticos

                                                                                        (11.85)

 

                                                                                     (11.86)

 

            Esses campos são denominados campos de radiação, pois são os campos que efetivamente contribuem com a potência irradiada pelo dipolo a grandes distâncias. O vetor de Poynting instantâneo associado aos campos de radiação é dado por

 

                                                            

 

e de (11.85) e (11.86)

 

                                             .                                 (11.87)

 

            Ou seja, o vetor de Poynting para os campos de radiação é um vetor radial que varia com o inverso do quadrado da distância. A média temporal de (11.87) é simplesmente

 

                                                                                        (11.88)

 

 

            A intensidade de radiação U, é definida como a potência média diferencial emitida em um elemento de ângulo sólido , que subtende uma área  na esfera de raio R, conforme ilustrado na Fig.11.7.  A potência diferencial emitida é

 

                                                        .                                           (11.89)

 

 

Utilizando (11.88), (11.89) fornece

                                                                                                          (11.90)

 

 

Fig.11.7 Esfera de determinação do elemento de ângulo sólido e potência irradiada.

           

            A Fig.11.8 ilustra a distribuição angular da intensidade de radiação. A potência total irradiada é obtida por integração de (11.90) em toda a variação de ângulo sólido, ou seja                                               

 

                                          ,

o que fornece

 

                                                               .                                                  (11.91)    

            A expressão (11.91) contém duas informações importantes. No caso de emissão de radiação por átomos ou moléculas, por exemplo, quando estas são excitadas por um campo eletromagnético, o momento de dipolo p0 é aquele induzido, conforme foi discutido no Capítulo 7.  Esse momento de dipolo é proporcional ao campo de excitação.  A expressão (11.91) mostra que o átomo ou molécula atua como uma pequena antena, que irradia potência eletromagnética em várias direções, segundo a dependência angular dada por (11.90), com um máximo de radiação na direção ortogonal ao eixo do dipolo.  A densidade de potência é proporcional à quarta potência da freqüência, ou seja do inverso da quarta potência do comprimento de onda no vácuo.  Isso explica a aparência azulada do céu. A luz emitida pelos

Fig.11.8 Distribuição da intensidade de radiação como função das variáveis angulares no espaço 3D.

átomos ou moléculas na atmosfera, em direções distintas daquela da luz do sol, é predominantemente azul, pois nessa região espectral() o comprimento de onda é quase duas vezes menor do que aquele da luz vermelha(), este já do outro lado do espectro visível.  De acordo com (11.90) isso fornece uma densidade de potência quase 16 vezes maior no azul do que no vermelho.

            Um segundo ponto importante em (11.91) e que será abordado em mais detalhe na seção seguinte, se refere a situações típicas encontradas nas propriedades de emissão de antenas. Nesse caso, a expressão (11.82), é re-expressa em termos da amplitude de corrente, com emprego da relação

                                                                                                                  (11.92)

o que fornece

 

                                                         ,

 

ou equivalentemente

 

                                                       .                                           (11.93)

 

 

Essa expressão mostra que a densidade de potência varia com o quadrado do tamanho relativo da antena em relação ao comprimento de onda. Tanto mais potência pode ser irradiada aumentando efetivamente esse fator. Isso será explorado nas seções seguintes.

 

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A potência total irradiada é dada por

 

                                                                                                          (11.94)

 

Pode-se definir uma resistência de radiação, com emprego da expressão para potencia média

 

                                                               ,                                                   (11.95)

 

donde

 

                                                                                                        (11.96)

 

Como observado no Capítulo 7, , e de (11.96)

 

                                                                                                              (11.97)

 

que é o valor da resistência de radiação de um dipolo curto, i.e., satisfazendo à condição .

 

11.3 Potenciais e campos no regime harmônico

 

            No regime harmônico

 

                                                               ,                                                   (11.98)

 

                                                               ,                                                   (11.99)

 

com relações similares para as outras grandezas.  Nessas condições, as equações diferenciais para os potenciais retardados assumem a forma da equação de Helmholtz não homogênea, i.e.,

 

                                                             ,                                                (11.100)

 

                                                                                                             (11.101)

 

            As fontes do campo no regime temporal são da forma

 

                                                               ,                                                 (11.102)

 

                                                               ,                                                  (11.103)

 

e no tempo  dado por (11.57), tem-se

 

                                    ,                      (11.104)

                                    ,                      (11.105)

 

com .  Dessa forma, o fasor associado às grandezas fonte, no tempo retardado, é obtido multiplicando o fasor original pela exponencial complexa nas variáveis espaciais que aparece entre colchetes em (11.104) e (11.105).  Com isso, a solução da eq. de Helmholtz para os potenciais escalar e vetor pode ser posta na forma

 

                                                                                  (11.106)

 

                                                                                (11.107)

 

            A condição de Lorentz, obtida de (11.14) reduz-se a

 

                                                                                                             (11.108)

 

            No regime fasorial, torna-se mais simples trabalhar apenas com o potencial vetor, e utilizar a condição de Lorentz para obter o campo elétrico totalmente expresso em função do potencial escalar.  Uma vez obtido  de (11.107), o campo  é obtido de (11.5), i.e.,

 

                                                                  ,

 

e o campo magnético de

 

                                                                                                                      (11.109)

De (11.7)

 

                                                              ,

 

e utilizando (11.108) nessa expressão, resulta em

 

                                                     ,

 

ou equivalentemente

 

 

                                                    .                                      (11.110)

 

            Pode-se também obter o campo diretamente do campo magnético, obtido de (11.99). Notando que a região de cálculo dos campos é afastada da região de existência das fontes, a equação (iv’) do Capítulo 7, com  e com  fornece

 

                                                                                                                (11.111)

 

Exemplo 11.1: Campos produzidos por um dipolo magnético no vácuo

 

            Considere a determinação do potencial vetor e campos do dipolo magnético localizado no plano z = 0, imerso no vácuo, representado na Fig.11.9 por uma espira de corrente de raio a. A corrente na espira é 

 

                                                              .

 

O potencial é obtido de 11.107, com , o que fornece

 

                                                  .                                    (11.112)

 

Com

 

                                                                   ,

                                                                    ,

                                                                ,

e

 

                                                            ,

a integral assume a forma

 

                                             .                               (11.113)

 

 

 

Fig.11.9 Espira de corrente e parâmetros representativos do dipolo magnético.

 

No regime assintótico em que  usa-se a expansão em primeira ordem dada por (11.52), o que fornece formas semelhantes a (11.53) e (11.63), i.e.,

 

                                                   ,                                     (11.114)

 

 

                                                       ,                                         (11.115)

 

Em (11.114) e (11.115)

                                        ,                          (11.116)

 

                                           ,                             (11.117)



conforme já demonstrado na seção 5.6 do Capítulo 5.  Inserindo (11.114) e (11.115) em (11.113) fornece

                       .         (11.118)





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Para o cálculo das integrais, utiliza-s a aproximação de 1a. ordem

 

                                                           , ,                                             (11.119)

o que fornece para a 1a.integral

 

 

.          (11.120)

 

 

A primeira integral do segundo membro de (11.120)  é nula. Utilizando a decomposição em cartesianas do vetor azimutal, pode-se mostrar que

 

                                                    ,                                      (11.121)

e (11.120) é portanto

                                       .                         (11.122)

 

 

Para a segunda integral em (11.118), com base em (11.119),

 

            .

 

A 1a. integral nessa expressão é dada por (11.121).  Para a segunda, tem-se

 

                        (11.123)

 

A primeira integral de (11.123) é nula. A segunda integral envolve o produto de funções ortogonais no domínio , sendo portanto nula. Assim

                                     .                       (11.124)

 

Inserindo (11.122) e (11.124) em (11.118), obtém-se

 

 

                                               .                                 (11.125)

 

em que

 

                                                                                                                      (11.126)

 

é o fasor momento de dipolo magnético e em (11.125) .

 

            Nota-se de (11.125) que o potencial vetor contém o termo que varia com o inverso do quadrado da distância, que representa o potencial vetor de um dipolo magnético na origem, já obtido no Capítulo 5, no caso magnetostático.  O primeiro termo em (11.115) varia com o inverso da distância e está aí presente devido às diferenças de fase associadas aos tempos de propagação dos diferentes elementos de circuito até o ponto de observação. 

 

            Os campos são obtidos de (11.109) e (11.110) [ou (11.111)]. De (11.109)

 

                                      .



Utilizando a identidade vetorial (1.32) tem-se

 

.              (11.127)



 

Notando que para o último termo o produto vetorial entre parêntesis independe de R, tem-se

 

                                                        ,

e portanto

 

 

 

                                ,

 

ou ainda

 

                                ,

 

Conforme mostrado no Capítulo 1,

                                                                   ,

                                                                ,

e portanto 

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                                   .


Utilizando a identidade vetorial (1.40) obtém-se finalmente

 

                                                                              (11.128)

Para o cálculo do primeiro termo do segundo membro em (11.127) tem-se

 

                     ,

e portanto

 

                                .                  (11.129)

 

Inserindo (11.128) e (11.129) em (11.127) leva a

 

 

,




o que fornece

,



 

ou equivalentemente

 

(11.130)


 

E portanto, o campo magnético pode ser posto na forma

 

                        .          (11.131)

 

            Nessa expressão, o primeiro termo que decai com a distância representa o campo de radiação. O termo que decai com o quadrado da distância, surge devido aos efeitos de retardo, mas não contribui para a potência para .  O último termo que decai com o cubo da  distância também não contribui para a potência irradiada para . Note que esses dois termos têm a natureza vetorial do campo de dipolo magnetostático na forma clássica obtida no Capítulo 5, sendo que o último termo corresponderia ao campo do dipolo magnetostático para um momento de dipolo variante no tempo, sem levar em consideração os efeitos de defasamento devido à velocidade finita de propagação da perturbação eletromagnética.

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            Para o cálculo do campo elétrico, utiliza-se (11.110), com o emprego de (11.125). Pode-se mostrar que

 

 

 

                                                                   ,

 

 e de (11.110)

 

                                                                                                                        (11.132)

 

 e de (11.125)

 

                                                                                (11.133)

 

 

            Os campos de radiação, obtidos de (11.131)  (11.133) são os termos que decaem com a distância, i.e.,

 

 

                                                   ,                                      (11.134)

 

 

                                                                                            (11.135)

 

O vetor de Poynting, obtido inserindo essas expressões em (7.85) é dado por

 

                                                     ,                                       (11.136)

 

ou equivalentemente

 

                                                      ,                                        (11.137)

 

A intensidade de radiação, como no caso do dipolo hertziano é dada por

 

                                                          ,                                            (11.138)

 

e exibe a mesma dependência angular que no caso elétrico.

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11.5 Método formal de determinação de campos de radiação

 

            Considere a expressão (11.107), reproduzida abaixo

 

                                             ,                               (11.107)

 

em que V é o volume de integração mostrado na Fig.11.10.  Admite-se que a distância da origem ao ponto de observação seja R, conforme ilustrado na figura.  Para obter os campos de radiação, i.e., aqueles que decaem com a distância, as seguintes aproximações podem ser aplicadas:

·           Na região de campos de radiação pode-se utilizar.

·           No fator exponencial complexo, utiliza-se a aproximação

 

                                                        

·           Nos cálculos dos campos, termos que decaiam mais rápido do que 1/R são desprezados.

 

            Com essas considerações, (11.130) assume a forma aproximada

 

                                                                    ,                                                      (11.139)

 

com

 

                                                      ,                                       (11.140)

 

 

 

Fig.11.10 Volume de corrente e parâmetros representativos.

em que o vetor , função apenas das variáveis angulares, denominado por alguns autores por vetor radiação, é dado pela integral

 

                                                                                              (11.141)

 

            Os campos de radiação são obtidos de (11.140) desprezando os termos de ordem superior.  Por exemplo

 

                   (11.142)

 

Para o cálculo do segundo termo tem-se, levando em conta que o vetor radiação depende apenas da variável angular,

 

                                                 .                                   (11.143)

 

Essa expressão mostra que a contribuição do segundo termo do segundo membro em (11.142) decai com o quadrado da distancia e pode portanto ser ignorado.   Para o primeiro termo do segundo membro de (11.142) tem-se

 

                                             ,                               (11.144)

e portanto                                                          

 

                                                ,

e portanto

 

                                                     ,                                       (11.145)

 

 

com

                                                                                                          (11.146)

 

representando o vetor ortogonal à direção radial.

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            Para o cálculo do campo elétrico, faz-se uso de (11.111), com emprego de (11.145), o que fornece

 




Note que o vetor  só depende das variáveis angulares, e por isso , uma vez que a parte do operador  que atua nessas variáveis depende de 1/R. Assim

                                                .

Portanto,

 

                                            .

Nessa expressão

 

                                             ,

e portanto

 

                                               

 

Utilizando (1.40) tem-se finalmente

 

                                             ,                                (11.147)

 

ou alternativamente

                                                         ,                                           (11.148)

 

            O vetor de Poynting associado ao campo de radiação é dado por

 

                                                          ,

e de (11.145) e (11.148)

 

                                               ,

 

e com o emprego de (1.40)

 

                                                         ,                                           (11.149)

 

com

 

                                                                                                       (11.150)

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Vale observar que

 

                                             ,


e (11.149) pode ser posta na forma

 

                                                             ,                                               (11.151)

 

            A intensidade de radiação é simplesmente

 

                                                               .                                                 (11.152)

e a direcionalidade da radiação depende essencialmente da dependência de  com as variáveis angulares.  A potência total emitida é dada por

 

                                                                                                            (11.153)   



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11.6 Estruturas radiantes simples e parâmetros de antenas

 

11.6.1 Antena Dipolo

 

            Uma antena tipicamente utilizada em radiodifusão é a antena linear que consiste de um fio retilíneo.  Na configuração dipolo, corresponde aos dois condutores de uma linha de transmissão, com alimentação central, conforme ilustrado na Fig.11.11a.  Uma variante dessa configuração é a antena monopolo, que corresponde a apenas um fio retilíneo sobre um plano de terra. Com base no método das imagens, a antena monopolo, tem um comprimento efetivo que é o dobro de seu comprimento, conforme ilustrado na Fig.11.11c e a potência irradiada acima do plano de terra é a mesma de uma antena dipolo de metade de seu comprimento, em um dos hemisférios que contém metade da antena dipolo.

 

              Considere inicialmente o caso de uma antena dipolo longo, conforme ilustrado na Fig.11.11a.  As extremidades da antena são pontos de corrente nula. A corrente que flui nos condutores retilíneos pode ser escrita na forma

                                                                                        (11.154)

 

 

 

 

(a)

(b)

(c)

Fig.11.11 Parâmetros para antena (a) dipolo, (b) monopolo e (c) monopolo e sua imagem.

 

            Para a antena de fio retilíneo correspondente a uma linha de transmissão no ar, a constante de propagação ou número de onda é o mesmo do vácuo. 

 

Para o cálculo do vetor radiação tem-se

 

                                                                   ,

 

                                                           ,

 

                                                   

 

                                                                                          (11.155)

 

Inserindo (11.154) em (11.155) fornece

 

            (11.156)

 

As integrais podem ser obtidas de forma simples, decompondo cada função seno dos integrandos em termos de funções complexas. Por exemplo, para a primeira integral em (11.156), tem-se




o que resulta em

            .

Apos algumas manipulações algébricas, obtém-se

 

 

.        (11.157)


 

Para a segunda integral em (11.156) faz-se , resultando em

 

            . (11.158)



 

Com essas expressões, as integrais definidas podem ser escritas como

 

            , (11.159)

 

             . (11.160)

 

 

Inserindo essas duas últimas expressões em (11.156), fornece                                                         

                                              .                                (11.161)

 

Como o vetor radiação tem apenas componente z, sua componente transversal pode ser obtida de

 

                                      ,

 

donde se extrai

                                              .

                                                                           

Utilizando essa relação com emprego de (11.161) fornece

 

 

                                                                            (11.162)

 

Os campos são obtidos de (11.145) e (1.148), o que fornece

 

 

 

                                                            (11.163)

 

 

           

                                   .                     (11.164)

 

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O vetor de Poynting associado aos campos de radiação obtido com o auxílio dessas duas últimas expressões é portanto

                                    .                       (11.165)



A intensidade de radiação, obtida com o emprego dessa expressão na definição (11.89) é dada por

                                    .                      (11.166)

 

Por exemplo, para uma antena dipolo de meia onda,  e a intensidade de radiação é simplesmente

 

                                                                                  (11.167)

 

            A potência total irradiada pode ser obtida da integral

 

                                                    ,

 

com o emprego de (11.167), o que fornece

 

                                        .                           (11.168)

 

A integral em (11.168) pode ser expressa como uma série de potências ou calculada numericamente. O cálculo numérico fornece

 

                                           ,                             (11.169)

 

e portanto

                                                        .                                          (11.170)

 

Dado que ,

                                                            ,                                              (11.171)

e de (11.95)

 

                                                                                                                (11.172)

 

            Cabos coaxiais para esse tipo de antena devem exibir impedância característica próximas do valor dado em (11.172),  para que se atinja um bom casamento de impedâncias.

 

 

            A Fig.11.12 ilustra os aspectos de alguns diagramas da intensidade de radiação.  É de interesse que a antena produza no máximo os dois lobos principais e que se evitem lobos subsidiários, o que ocorre com o aumento de comprimento da antena.  Nessa situação ocorrem direções no espaço em que a densidade de potência irradiada é muito pequena.

 

 

 

Fig.11.12 Alguns diagramas de radiação de uma antena dipolo.

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            A Fig.11.13 mostra a variação da resistência de radiação com o comprimento relativo da antena dipolo. Como pode ser aí observado a resistência aumenta em média com o comprimento relativo variando de forma quase periódica.

 

 

11.6.2 Parâmetros característicos de antenas

 

 

            O desempenho de uma antena pode ser caracterizado com o emprego de alguns parâmetros, cujas definições estão descritas a seguir.  Esses parâmetros estão de acordo com a norma IEEE de definição de termos em Engenharia de Antenas.[2]

 

A. Intensidade de radiação

 

            A intensidade de radiação foi definida em (11.89) e representa a potência diferencial emitida no ângulo sólido .  Seu valor é sempre o mesmo em uma dada direção do espaço, independentemente da distância ao elemento irradiador.  É definida por

 

                                                                                                        (11.173)

 

Fig.11.13 Dependência da resistência de radiação com o comprimento relativo para uma antena dipolo.

 

 

B. Resistência de radiação

 

            No regime harmônico, a resistência de radiação, obtida de (11.95) é dada por

 

                                                                ,                                                  (11.174)



com  representando a potência ativa média irradiada pela antena e I o fasor corrente elétrica de alimentação da antena.

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C. Diretividade

           

            A diretividade de uma antena é a razão entre a máxima intensidade de radiação e a intensidade média de radiação. Esta última pode ser obtida de

 

                                                .                                  (11.175)

                                                                           

Se a intensidade de radiação máxima é , então a diretividade é dada por

 

                                                                  .                                                     (11.176)

 

Note que a integral em (11.175) nada mais é do que a potência irradiada pela antena, ou seja

 

                                                                   .                                                     (11.177)

 

Assim, a diretividade pode também ser escrita na forma

 

                                                                .                                                  (11.178)

 

D. Ganho absoluto de uma antena

 

            O ganho absoluto de uma antena é definido como a razão entre a máxima intensidade de radiação emitida pela antena e a intensidade média obtida admitindo que a potência ativa de entrada seja emitida isotropicamente pela antena.  Se é a potência ativa de entrada da antena, a intensidade de radiação obtida na hipótese de a antena ser isotrópica é

 

                                                                    .                                                      (11.179)

 

O ganho da antena é portanto

 

                                                                .                                                  (11.180)

Note que para uma antena sem perdas  e o ganho absoluto é igual à diretividade.

 

E. Ganho relativo de uma antena

 

            O ganho relativo de uma antena é um parâmetro definido em relação a uma antena de referencia. É definido pela razão

                                                                     ,                                                       (11.181)


com  e G0 representando o ganho da antena sob consideração e da antena de referência, respectivamente.

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Problemas

 

 

11.1 Verifique que os potenciais escalar e vetor dados por (11.65) e (11.71) satisfazem à condição de Lorentz dada por (11.14).

 

11.2 Um dipolo localizado na origem, imerso no vácuo, e dirigido ao longo da direção z, com momento de dipolo

                                                              ,

gera um potencial vetor dado por

                                                          ,

em que .

a) Determine

b) Utilize a condição de Lorentz no vácuo para determinar o potencial escalar . (Despreze os termos independentes do tempo que apareçam na solução).

 

 

11.2 Determine o vetor radiação para um dipolo elétrico localizado equivalente a um elemento de corrente  e determine:

a) Os campos de radiação elétrico e magnético

b) A intensidade de radiação

c) A resistência de radiação

 

11.3 Determine o vetor radiação para o dipolo magnético localizado, na aproximação  e obtenha:

a) Os campos de radiação elétrico e magnético

b) A intensidade de radiação

c) A resistência de radiação.

 

11.4 Use (11.109) e (11.111) para obter (11.110).

 

11.5 Com base em (11.125), mostre que .

 

11.6 Próximo à origem, há dois elementos de corrente localizados, imersos no vácuo, definidos em forma fasorial por

                                                 ,

 

com . Determine, em um ponto de coordenadas :

a) O vetor radiação .

b) Os campos de radiação  e .

c) A intensidade de radiação U.

 

 

11.7 Repita o problema 11.6 para o caso em que os elementos de corrente sejam definidos por

                                                 ,

 

11.8 Repita o problema 11.6 para o caso em que os elementos de corrente sejam definidos por

                                                 ,

 

11.9 Utilize a Fig.11.13 e o conceito de resistência de radiação para determinar a diretividade de uma antena dipolo com .

 

11.10  Determine aproximadamente a potência irradiada de uma antena dipolo de comprimento l, em uma região do espaço que subtende um ângulo sólido , para e

 

11.11 A resistência de radiação de uma antena dipolo de meia onda é . Sabendo que o máximo de intensidade de radiação ocorre em , determine a diretividade da antena.

 

 

11.12 Uma antena de comprimento l é alimentada por uma corrente .

 

a) Determine a potência irradiada por essa antena em um freqüência tal que

b) Determine a potência irradiada por essa mesma antena se a freqüência for metade do valor da letra a.

Sugestão: Utilize a Fig.11.13 e o conceito de resistência de radiação.

 

 

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[1] Uma vez que as variações de carga nos dois pólos do eixo z estão balanceadas, a corrente i aqui introduzida, flui basicamente ao longo do eixo z, de forma que a diminuição de carga no pólo negativo corresponda a um acréscimo no pólo positivo, e vice versa.

[2] IEEE Std145-1983 - Definition of terms for antennas