Eletromagnetismo - Parte II

 

 

 

 

Eduardo Fontana, PhD

Professor Titular

Departamento de Eletrônica e Sistemas

Universidade Federal de Pernambuco

 

 

  1a. Edição - Versão 1.0 - 05/05/2011
Versão atual - 1.4 - 10/05/2011

 

 Recife, 2011


Capítulo 8 - Reflexão e Refração

 

 

8.1 Introdução

 

            Quando uma onda eletromagnética, ao se propagar, encontra algum objeto com propriedades materiais distintas do meio de propagação, ondas secundárias são produzidas.  Estas decorrem do campo de reação dos dipolos magnéticos e elétricos constituintes do objeto ao campo incidente, o que culmina com ondas refletidas de volta para o meio de ondas transmitidas para o interior do objeto. Dependendo da forma geométrica do obstáculo, de sua dimensão relativamente ao comprimento de onda e da região ocupada pelo feixe de radiação incidente, bem como da composição e homogeneidade do objeto, pode ocorrer ou não espalhamento difuso, ou seja, reflexão e transmissão ao longo de várias direções, conforme ilustrado na Fig.8.1.  Há situações, no entanto, em que o obstáculo pode ser modelado como uma interface simples que se conforma de forma aproximada à superfície de fase da onda incidente.  Quando isso ocorre, as frentes de onda das ondas refletida e transmitida assumem a mesma forma daquela da onda incidente. Para o caso de ondas planas, por exemplo, se o objeto for terminado em uma interface planar, as superfícies de fase das ondas refletida e transmitida são também planos, como na onda incidente.  Diz-se nesse caso que ocorre reflexão e transmissão especular.

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            Neste Capítulo, é desenvolvida a formulação que permite a obtenção de parâmetros representativos da reflexão e transmissão de ondas eletromagnéticas em uma interface simples. Modela-se, em uma primeira aproximação, a interface entre dois meios como sendo

 

sdf

Fig.8.1 – Interação de uma onda eletromagnética com um objeto e produção de ondas secundárias.

planar e assume-se que a onda incidente na interface seja uma onda plana. Esta é uma boa aproximação, mesmo para o caso de um feixe de radiação eletromagnética de largura finita, incidente na interface.  Isso porque, de forma análoga à decomposição de funções em componentes de Fourier, um feixe de radiação eletromagnética com dimensão transversal finita, conforme ilustrado na Fig.8.2, pode ser decomposto como a superposição de ondas planas, infinitamente extensas.  Analisando-se as propriedades de reflexão e transmissão de cada onda plana e recompondo as porções refletida e transmitida, pode-se reconstruir os feixes de radiação eletromagnética refletido e transmitido.

 

 

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8.2 Reflexão e refração em uma interface simples entre meios sem perdas

 

8.2.1 Considerações iniciais

 

            Considere-se a incidência de uma onda plana em uma interface planar entre meios materiais de propriedades eletromagnéticas distintas, conforme ilustrado na Fig.8.3.  O vetor de onda de onda  da onda incidente forma um ângulo  relativamente à direção normal à interface. Admite-se inicialmente a hipótese de os meios 1 e 2 serem não absorvedores, com parâmetros materiais reais  e , respectivamente e a inexistência de fontes na região de interesse envolvendo os meios 1 e 2. De (7.219), os índices de refração dos dois meios são dados por

 

 

 

Fig.8.2 Ilustração da interação de um feixe de radiação eletromagnética com uma interface planar

 

Fig.8.3 – Geometria para análise do problema de reflexão de uma onda plana em uma interface simples.

                                                                           

                                                                                                                           (8.1)

e

 

                                                                 .                                                         (8.2)

 

 

 

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            É de se esperar que parte do campo incidente seja transmitido para o meio 2. É importante observar que em vista de os meios terem propriedades eletromagnéticas distintas, apenas a adição de uma onda plana transmitida para o meio 2 não seria suficiente para satisfazer às condições de contorno para os campos, para um ângulo de incidência arbitrário.  Para satisfazer às condições de contorno, faz-se necessário adicionar uma terceira componente ao problema, que corresponde à onda refletida no meio 1, representada na Fig.8.3.

 

            Considere-se agora a situação delineada na Fig.8.3 com um pouco mais de detalhe.  Nessa figura está desenhado um sistema com a interface localizada no plano z = 0.  O vetor de onda do campo incidente tem apenas componentes nas direções x e z.  O plano definido pelo vetor de onda da onda incidente e a direção normal  é denominado de plano de incidência. Uma vez que os campos  e  em z = 0 têm de satisfazer às condições de contorno (6.66) e (6.67) (esta com ), e como a fase de cada campo com vetor de onda  é dada por um termo do tipo , é necessário impor que o argumento da função exponencial complexa associada a cada campo tenha o mesmo valor. Caso contrario não seria possível satisfazer a essas condições de contorno em qualquer ponto da interface.  Isso implica em impor

 

                                               ,                                       (8.3)

 

em que ,  e  representam, respectivamente, os vetores de onda da onda incidente,  transmitida e refletida.              Estes são dados por

 

                                                              ,                                                      (8.4)

 

                                                        ,                                                (8.5)

e

 

                                                        .                                                (8.6)

 

Dado que , (8.3) fornece

 

                                                    ,

 

o que corresponde às duas condições

 

                                                          ,                                                  (8.7)

 

                                                          .                                                  (8.8)

 

Para que (8.7) e (8.8) sejam válidas em toda a interface, i.e., , deve-se impor

 

                                                                 ,                                                         (8.9)

 

 

                                                                 .                                                        (8.10)

 

            A equação (8.10) implica que os vetores de onda da onda refletida e da onda transmitida também estão no plano de incidência.  A condição (8.9) implica na conservação da componente tangencial do vetor de onda.  Essas são as condições de reflexão e transmissão especular.

 

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            A equação (8.9) tem implicações adicionais.  Da Fig.8.3

 

                                                                  ,                                                        (8.11)

 

                                                                 ,                                                       (8.12)

 

                                                                ,                                                      (8.13)

 

e dado que ,   e , (8.9) fornece

 

 

                                                                      ,                                                            (8.14)

 

que define a condição de reflexão especular, i.e., para uma interface planar o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência. A segunda igualdade de (8.9) fornece a lei de Snell de refração

 

                                                            .                                                   (8.15)

 

            A equação (8.15) implica, em condições normais, que a onda transmitida para o meio 2 é defletida (refratada) em relação à direção da onda incidente. Se   (8.15) implica em  e a onda refratada se aproxima da direção normal à interface. Alternativamente, se  a onda transmitida se afasta da direção normal.

 

            Com as condições de reflexão e refração especular, os vetores de onda serão redefinidos, de forma a simplificar a formulação. Os ângulos de incidência e de refração serão redefinidos de acordo com

 

                                                                                                                                   (8.16)

 

                                                                                                                                  (8.17)

 

Além disso, a componente z de cada vetor de onda receberá como subscrito o índice do meio material correspondente. Assim,

 

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                                                               ,                                                     (8.18)

 

                                                              ,                                                    (8.19)

                                                                           

                                                             ,                                                    (8.20)

com

 

                                                               ,                                                     (8.21)

 

                                                                                                                    (8.22)

e

 

                                                              .                                                    (8.23)

 

            É importante observar que o ângulo  perde o significado geométrico usual quando ocorre o fenômeno de reflexão interna total, a ser discutido em mais detalhe ainda neste Capítulo.  Por essa razão, o uso de ângulos na formulação necessária à obtenção das amplitudes dos campos refletido e transmitido é evitada neste texto, na maioria das situações.

 

            Para obtenção das ondas refletida e transmitida, duas situações são consideradas:

 

·            Polarização paralela: Nessa situação, os campos elétricos das ondas incidente refletida e transmitida ficam localizados no plano de incidência.

 

·            Polarização perpendicular:  Os campos elétricos ficam orientados na direção perpendicular ao plano de incidência.

 

 

            A solução desses dois problemas permite obter a solução para a reflexão e refração de um campo exibindo uma direção arbitrária por superposição, uma vez que esse vetor pode sempre ser decomposto em componentes ortogonais, uma localizada no plano de incidência e outra, perpendicular a esse plano.

 

8.2.2 Polarização paralela

 

A geometria utilizada para análise da reflexão de uma onda eletromagnética tendo o campo elétrico polarizado no plano de incidência está mostrada na Fig.8.4. Admitindo uma amplitude  para o campo incidente, da Fig.8.4, têm-se as seguintes expressões vetoriais para os campos das ondas incidente, refletida e transmitida:

 

Onda incidente:

 

 

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                                                .                                      (8.24)

 

 

 

Fig.8.4 – Configuração de campos para polarização paralela.

O campo magnético pode ser calculado da expressão,

 

,

 

donde,

 

                                                        sdf.                                              (8.25)

 

De forma semelhante, com base na Fig.8.4, obtêm-se

 

 

Onda refletida:

 

                                             ,                                    (8.26)

 

                                                 .                                       (8.27)

em que  é um fator de escala denominado de coeficiente de reflexão que aplicado à amplitude do campo elétrico da onda  incidente define a amplitude do campo elétrico da onda refletida.  O subscrito p é a inicial de paralelo e serve para indicar que o vetor campo elétrico está polarizado ou orientado no plano de incidência.

 

Onda transmitida:

                                              ,                                    (8.28)

 

                                                   ,                                         (8.29)

 

em que  é definido como o coeficiente de transmissão para polarização paralela. De acordo com as definições para os coeficientes de reflexão e transmissão, as amplitudes fasoriais dos campos refletido e transmitido são dadas respectivamente por

 

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                                                                  ,                                                        (8.30)

 

                                                                  .                                                         (8.31)

 

            O objetivo nessa formulação é determinar os parâmetros  e , o que requer um sistema de duas equações lineares. Estas são obtidas aplicando-se as condições de contorno em z=0, obtidas no regime harmônico de (6.66) e (6.67), com , i.e.,

 

 

                                                             ,                                                   (8.32)

 

                                                            .                                                  (8.33)    

 

 

Note-se que os campos  em (8.32) e (8.33) são calculadas em z=0 e portanto

 

                                                      ,                                            (8.34)

 

                                                               .                                                     (8.35)

 

Utilizando-se (8.24), (8.26) e (8.28) com  em (8.34) e (8.34) em (8.32), com  resulta em

 

 

                                                              .                                                    (8.36)

 

Procedimento semelhante aplicado para   em (8.34) e (8.35) em (8.32) com o emprego de (8.25), (8.27) e (8.29) fornece

 

                                                              .                                                    (8.37)

 

            A solução simultânea de (8.36) e (8.37) fornece

 

 

                                                             ,                                                   (8.38)

 

                                                         .                                               (8.39)

 

 

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8.2.3 Polarização perpendicular

 

            A geometria utilizada para a análise da reflexão de uma onda eletromagnética com o campo elétrico polarizado perpendicularmente ao plano de incidência está mostrada na Fig.8.5. Adotando procedimento semelhante àquele adotado na seção anterior, e com base na Fig.8.5 as ondas incidente, refletida e transmitida assumes as formas

 

Onda incidente:

 

                                                          ,                                                (8.40)

 

 

                                            .                                  (8.41)

 

Onda refletida:

 

                                                                                                      (8.42)

 

                                                                            (8.43)

 

Onda transmitida:

                                                        ,                                              (8.44)

 

 

                                         .                               (8.45)



Fig.8.4 – Configuração de campos para polarização perpendicular.

            Nas equações (8.42)-(8.45) introduziu-se os coeficientes de reflexão e transmissão,  e , respectivamente, para ondas s, i.e., com polarização perpendicular ao plano de incidência.  O subscrito s advém do termo original alemão senkrecht  para o adjetivo perpendicular. 

 

            Utilizando (8.40), (8.42) e (8.44), em z = 0, na condição de contorno (8.32) fornece 

 

                                                                  .                                                        (8.46)

 

 

De forma semelhante, utilizando (8.41), (8.43) e (8.45), em z = 0, na condição de contorno (8.33) fornece

 

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                                                              .                                                    (8.47)

 

            Resolvendo o sistema de equações (8.46) e (8.47)  fornece

 

 

                                                             ,                                                   (8.48)

 

                                                             .                                                   (8.49)

 

 

 

            A Tabela 8.1 sumariza as expressões para os coeficientes de reflexão e transmissão para os dois tipos de polarização tratadas no texto. Nas sub-seções seguintes, algumas situações específicas são analisadas

 

A. Expressões gerais em função das impedâncias e admitâncias de onda

 

            Para ondas p os coeficientes de reflexão e transmissão podem ser expressos de forma conveniente em termos das impedâncias de onda. Nos meios 1 e 2 as impedâncias de onda são dadas por

 

                                                                                                                        (8.50)

 

Utilizando a relação

 

 

                                                                                                                (8.51)

 

  com i  = 1, 2 em (8.38) fornece

 

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                                            .

 

Dividindo numerador e denominador dessa expressão pelo produto  fornece

 

 

                                                      .                                            (8.52)

 

            A equação (8.52) tem uma interpretação simples. A impedância de onda paralela  é definida como a razão entre os campos tangenciais à interface no meio i, i.e.,

                                                                           

                                                                                                                          (8.53)

 

Para ondas p

                                                               ,

 

                                                              ,

 

                                                                   ,

 

                                                                  ,

e (8.53) fornece

 

                                                               .                                                     (8.54)

 

Utilizando (8.54) em (8.52) fornece

 

                                                             ,                                                    (8.55)

 

ou seja, para ondas p o coeficiente de reflexão é a diferença entre impedâncias paralelas sobre a soma.  Essa expressão implica que pode-se transmitir toda a onda para o meio 2 na condição de casamento de impedâncias .  Esse ponto de vista de interpretar o problema de reflexão em uma interface em termos de impedâncias é muito útil em teoria de circuitos, em linhas de transmissão e em dispositivos de microondas, como será discutido em mais detalhes no Capítulo 9.

 

            Para expressar o coeficiente de transmissão em termos das impedâncias, utiliza-se (8.50) e (8.51) em (8.39), o que fornece

 

                                                      ,                                             (8.56)

 

ou equivalentemente, utilizando o conceito de impedância paralela definida em (8.54),

 

 

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                                                              .                                                    (8.57)

 

 

            Para ondas s emprega-se (8.50) e (8.51) em (8.48) e (8.49), o que fornece

 

 

 

                                                       ,                                             (8.58)

 

 

                                                       ,                                              (8.59)

 

em que a admitância de onda é definida por

 

                                                               .                                                     (8.60)

 

            Pode-se ainda definir uma admitância paralela como a razão entre componentes tangenciais dos campos, i.e.,

 

                                                                                                                            (8.61)

Para ondas s

                                                                    ,

 

                                                                   ,

 

                                                     ,

 

                                                     ,

e (8.61) fornece

 

                                                                .                                                      (8.62)

 

Utilizando (8.54) em (8.52) fornece

 

                                                               .                                                     (8.63)

 

Uso de (8.62) em (8.59) fornece

 

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                                                                                                                     (8.64)

 

 

            Assim, transmissão total para ondas s é obtida casando-se as admitâncias paralelas dos dois meios, de acordo com a definição (8.62).

 

 

B. Expressões restritas a meios não magnéticos

 

            Em muitas situações ambos os meios envolvidos não exibem efeitos magnéticos significativos.  Nessas situações, . Nessa situação a permissividade do meio i pode ser posta na forma

 

                                                                   .                                                          (8.65)

 

Utilizando essas condições em (8.38), (8.39), (8.48) e (8.49) fornece

 

 

 

                                                             ,                                                   (8.66)

 

 

                                                             ,                                                   (8.67)

 

                                                                 ,                                                       (8.68)    

 

                                                                 .                                                       (8.69)

 

            Essas expressões são utilizadas geralmente no visível e infravermelho, quando se trabalha com superfícies ópticas, filmes finos e vidros ópticos, situação em que o índice de refração torna-se um parâmetro mais tangível.

 

C. Expressões restritas ao caso de incidência normal

 

           

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            Para incidência normal os vetores de onda em cada região são dados por

 

                                                             ,                                                   (8.70)

 

                                                            ,                                                  (8.71)

 

ou equivalentemente

 

                                                                  .

 

Utilizando-se essa última condição em (8.52), (8.56), (8.58) e (8.59) fornece

 

                                                            .                                                  (8.72)

 

                                                            .                                                   (8.73)

 

 

                                                                           

 

            No caso de meios não magnéticos, i.e., , tem-se  e essas expressões podem ser postas nas formas

 

                                                            ,                                                  (8.74)

 

                                                             .                                                   (8.75)

 

            A Tabela 8.1 sumariza as expressões para os coeficientes de reflexão e transmissão no caso geral, e nas situações específicas discutidas nesta seção.

 

 

Tabela 8.2 Coeficientes de reflexão e transmissão para um interface simples.

Expressões gerais

Polarização

Coeficiente de reflexão

Coeficiente de transmissão

Paralela




Perpendicular




Expressões gerais em termos de impedâncias e admitancias de onda

Polarização

Coeficiente de reflexão

Coeficiente de transmissão

Paralela




Perpendicular



 



Meios não-magnéticos

 

Coeficiente de reflexão

Coeficiente de transmissão

Paralela



Perpendicular




Incidência normal

 

Coeficiente de reflexão

Coeficiente de transmissão

Caso geral




Meios não magnéticos




 

 

 

 

 

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8.3 Reflectância e Transmitância – Meios sem perdas

 

8.3.1 Conservação da potência eletromagnética

           

            Uma questão importante a ser considerada refere-se às frações de potência eletromagnética refletida e transmitida da interface. O teorema de Poynting permite obter a relação entre essas quantidades. Considere-se, a hipótese inicial de meios sem perdas.  Nessa hipótese o teorema de Poynting (7.93) fornece

 

                                                           ,                                                 (8.76)

 

em que  é uma superfície fechada. 

 

            Considere-se o caso da superfície fechada  mostrada na Fig.8.5 em que as dimensões do paralelepípedo fechado ao longo das direção x e y seja  dx e dy, respectivamente e (dz1+dz2) na direção z. Considerando as componentes dos vetores de Poynting das ondas incidente, refletida e transmitida mostradas na figura o fluxo para o interior do paralelepípedo é dado por

 

,

 

ou equivalentemente

 

                                                    .                                          (8.77)

 

            Para o meio 1 sem perdas tem-se

 

,

 

,

sdf

Fig.8.5 – Geometria para o cálculo de fluxos de potência refletida e transmitida de uma interface simples.

 

o que fornece

 

                                                                                                              (8.78)

 

            Note-se que o sinal negativo do primeiro termo do segundo membro dessa expressao garante que esse termo é positivo, uma vez que a onda refletida tem uma projeção negativa do vetor de Poynting na direção z. Assim a Eq.(8.78) expressa que a densidade de potência ativa da onda incidente projetada na direção normal é igual à soma das respectivas projeções das densidades de potência ativa das ondas refletida e transmitida. Ou seja, a lei de conservação de potência eletromagnética não implica no balanceamento entre as densidades de potência das três ondas envolvidas, mas sim das projeções na direção normal à interface.  Isso implica no entanto,  na conservação da potência eletromagnética, pois esse resultado é conseqüência do teorema de Poynting. 

 

            Para elucidar essa questão ainda mais, considere-se por um momento a porção da onda plana ilustrada na Fig.8.6 que ocupa a área retangular de comprimento . A onda incidente forma um ângulo  com a direção normal, com representando o ângulo da onda refratada.  Essa porção “ilumina” uma área de largura DW na interface tal que

 

                                                              .                                                     (8.79)

 

            As porções das ondas refletida e refratada ocupam, respectivamente, as larguras  e  mostradas na Fig.8.6, tal que

 

                                                         .                                               (8.80)
   

Fig.8.6 – Geometria para o cálculo dos fluxos de potência em uma interface.

Admitindo o ângulo como sendo real,

 

                                                              .                                                    (8.81)

 

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            Uma vez que o ângulo  é real, o mesmo se aplica para o vetor de Poynting no meio 2 e portanto, conservação de potência eletromagnética implica em

 

                                                    .

 

Utilizando (8.80) e (8.81) nessa expressão fornece

 

 

                                                                                              (8.82)

 

            A equação (8.82) é a expressão (8.78) uma vez que  e para o caso em que o vetor de Poynting no meio 2 é real[1].   Note-se que (8.80) e (8.81) implicam que a região ocupada pela onda refratada sofre uma alteração em relação àquela da onda incidente dada por

                                                              .                                                    (8.83)

                                                                                                                                                           

 

            Ou seja, a região ocupada pela onda refratada é alargada se  e vice-versa. É importante observar que essa interpretação geométrica da largura do feixe transmitido perde o significado quando ocorre o fenômeno de reflexão interna total, o que resultaria em um ângulo  complexo, como discutido na Seção 8.4.

 

8.3.2 Reflectância e Transmitância

 

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            As densidades de potência, para polarização paralela ou perpendicular têm a mesma forma geral, ou seja:

 

                                                                  ,                                                        (8.84)

 

com

                                                              ,                                                    (8.85)

 

 

                                                             ,                                                   (8.86)

com

 

                                                             ,                                                   (8.87)

 

                                                     ,                                           (8.88)

 

com

 

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                                                            .                                                  (8.89)

 

            Utilizando (8.84) – (8.89) obtém-se

 

                                .                      (8.90)


 

            Calculando (8.90) em z=0, obtém-se

 

                                                     

 

ou equivalentemente

 

                                                       .                                              (8.91)

 

 

            De Eq.(8.91) define-se o parâmetro

 

                                                                                                                                (8.92)

 

como a reflectância da interface, i.e., a fração da potência ativa eletromagnética refletida da interface.  Da mesma forma o parâmetro

 

                                                            ,                                                  (8.93)

 

representa a transmitância, i.e., a fração de potência transmitida da interface, em z=0. 

           

            Assim, (8.91) pode ser expressa na forma

 

 

                                                                                                                              (8.94)
 

um resultado válido independentemente da polarização da onda. Essa expressão é uma reafirmação do princípio da conservação da energia. É importante observar que as definições (8.92) e (8.93) e o resultado (8.94) são independentes do tipo de polarização de onda.

 

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8.4 Reflexão interna total e ângulo de Brewster

 

8.4.1 Reflexão interna total

            Se , existe uma condição, para ambos os tipos de polarização, a partir da qual toda potência eletromagnética incidente é refletida da interface. Essa condição ocorre a partir do ângulo de incidência que torna a componente z do vetor de onda no meio 2 puramente imaginária. Um exame das expressões para os coeficientes de reflexão listadas na Tabela 8.1, mostra que nessas circunstâncias, . O ângulo de incidência critico  a partir do qual reflexão total ocorre é obtido de

 

,

 

ou equivalentemente

 

                                                                                                                   (8.95) 

 

Se ,  torna-se puramente imaginário,i.e.,

 

                                                    ,                                          (8.96)

 

e da Tabela 8.1,

sdf

 

 

            Note-se de (8.88) que  o que implica em .

 

 

            Da Eq.(8.96), com  tem-se, independentemente da polarização

 

                                                         ,                                                (8.97)

ou, com o emprego de (8.89), 

 

                                                ,                                      (8.98)

 

donde

 

                                                         ,                                               (8.99)

 

 

                                                        .                                              (8.100)

 

            De (8.99) e (8.100) pode-se concluir que há fluxo de potência ativa no meio 2, apenas no sentido +x, e essa energia eletromagnética fica confinada em uma região de largura , conforme ilustrado na Fig.8.7.

 

 

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Fig.8.7 Ilustração da existência de onda evanescente mediante o fenômeno de reflexão interna total.

 

Portanto:

Acima da condição de reflexão interna total, os campos decaem exponencialmente no meio de menor índice de refração. Esses campos são ditos evanescentes, e não se propagam no sentido +z do meio 2. Conseqüentemente toda a potência eletromagnética é refletida de volta para o meio de maior índice de refração

 

 

8.4.2 Ângulo de Brewster

 

            É possível obter-se uma condição em que toda a potência incidente na interface seja transmitida para o segundo meio, com reflexão nula. Essa condição ocorre no ângulo de Brewster e só existe se o campo elétrico incidente estiver polarizado no plano de incidência.  O ângulo de Brewster  pode ser obtido de (8.51), impondo-se a condição, , i.e.,

 

                                                          ,

 

ou equivalentemente

 

                                                            sdf                                                 (8.101)

 

Juntamente com a lei de Snell para a refração dada por (8.15),

 

                                                            ,                                                   (8.102)

 

Elevando-se ao quadrado ambos os membros de (8.101) e (8.102) e somando obtém

 

 

.

 

A divisão dessa última expressão pelo termo  fornece

 

,

 

o que permite obter uma expressão para o ângulo de Brewster em termos dos parâmetros eletromagnéticos de ambos os meios, i.e.,

 

 

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                                                     .                                           (8.103)

 

 

            Para meios não magnéticos, i.e., na condição  essa condição pode ser posta na forma simples

 

                                                              .                                                  (8.104)

 

            A Fig.8.8 mostra a dependência angular do coeficiente de reflexão de potência calculado para n1=1,5 e n2 = 1 para polarização paralela e perpendicular, onde se pode observar a existência do ângulo crítico para ambas as polarizações. Como pode ser aí observado, o ângulo de Brewster só ocorre para polarização no plano de incidência.

 

 

Fig. 8.8 Reflectância para ondas p e s para n1=1.5 e n2=1.

 

 

 

 

 

 

8.5 Reflexão e refração em um meio absorvedor

 

Considere-se agora o caso de reflexão e refração de uma onda plana em uma interface entre um meio sem perdas e um meio absorvedor.  Quer-se determinar o comportamento da onda transmitida no meio absorvedor, estabelecer as relações de balanço de energia e analisar as situações em que ocorrem, de forma aproximada, a reflexão interna total e a transmissão total de potência eletromagnética.

 

No meio 2, o índice de refração complexo será expresso na forma

 

                                                               .                                                   (8.105)

 

            Para levar-se em conta situações em que o meio possa ter uma permeabilidade magnética diferente da do vácuo, define-se o parâmetro

 

                                                                 ,                                                     (8.106)

 

tal que

 

                                                                      .                                                          (8.107)

 

            Note-se que,

 

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                                                            .                                                (8.105)

 

            Para meios não magnéticos, i.e., meios em que ,

 

                                                             ,

 

ou seja, o parâmetro  reduz-se à permissividade relativa do meio.

 

            Com essa definição, as componentes do vetor de onda no meio 2 satisfazem à relação

 

                                                              ,                                                   (8.109)

 

ou equivalentemente

 

                                                         ,                                             (8.110)

 

em que  é a componente z do vetor de onda no meio 2, que é um parâmetro complexo da forma

 

                                                                .                                                    (8.111)

 

            O parâmetro kx é  real pois é estabelecido pela onda incidente.  A componente z do número de onda no meio 2 pode ser obtida de

 

                                            .

 

o que fornece

 

                                                          ,                                              (8.112)

 

 

                                                                .                                                    (8.113)

 

            Essas equações fornecem equações biquadráticas para os parâmetros  e .  Expressando  como função de  em (8.113) e substituindo em (8.112) resulta em uma solução real positiva para  dada por

 

 

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                                      .                          (8.114)

 

Inserindo (8.114) em (8.113) permite obter

 

                                    .                        (8.115)

 

Utilizando (8.21), i..e

 

,

 

em (8.114) e (8.115) fornece

 

                             ,                 (8.116)

 

 

                             .                 (8.117)

 

            As expressões (8.116) e (8.117) permitem analisar,  para o caso ,  o ângulo crítico de transição da função reflectância para a condição de reflexão quase total.  Essa transição ocorre quando o termo

 

 

em (8.116)-(8.117) muda de sinal.  Note-se que   para  e  para , com

 

                                            .                                (8.118)

 

            É importante notar que para  tem-se

 

 

                                                                                                              (8.119)

 

e para  ambos os parâmetros tornam-se muito pequenos. É importante notar de (8.116) e (8.117) que os valores de   e  se invertem na transição em torno do ângulo crítico, ou seja, o parâmetro  torna-se muito pequeno e o parâmetro  torna-se muito grande.  A Fig. 8.9 ilustra o comportamento das funções  e .             

Fig. 8.9 –Dependência angulara das partes real e imaginária dos parâmetros  e .

            Na ausência de absorção, i.e., com  (8.116) e (8.117) fornecem

 

 



 

 

            A Fig.8.10 ilustra a eliminação gradual do efeito de reflexão total, devido a uma pequena absorção no meio 2, considerado com índice de refração .  O cálculo foi feito assumindo .

 

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Fig.8.10 Eliminação gradual do efeito de reflexão interna total absorção crescente no meio de transmissão.

 

 

 

 

 

 

            Para analisar a refração da onda na interface, é importante notar que os campos no meio 2, são da forma,

 

                                                                                                  (8.120)

 

ou seja,  essa é uma onda plana dita inhomogênea, pois sua amplitude varia no plano de fase constante.  Assim, as superfícies de amplitude constante, são distintas das superfícies de fase constante.  O vetor de onda no meio 2 é da forma

 

 

                                                                                                                (8.121)

 

 

com

 

                                                              .                                                  (8.122)

 

            As superfícies de fase constante (planos) são perpendiculares ao vetor  , pois são as componentes desse vetor que aparecem no fator de fase em (8.120).  Assim, a refração da superfície de fase do meio 1 para o meio 2 é determinada pela direção do vetor  em relação à direção normal, ou seja,

 

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                                                            .                                                (8.123)

 

            Inserindo-se (8.116) em (8.123) e notando que , obtém-se a lei de Snell generalizada para a interface entre um meio transparente e um meio absorvedor, i.e.,

 

                                                       ,                                           (8.124)

com

 

                           .                (8.125)

 

 

            A reflectância para incidência oblíqua pode ser obtida diretamente da Tabela 8.1.  É interessante considerar, no entanto, o caso em que a onda está polarizada no plano de incidência, onde ocorre o ângulo de Brewster.  Da Tabela 8.1, para onda no plano de incidência,

 

 

Utilizando-se (8.111),  tem-se

 

 

ou equivalentemente

 

 

                                         sdf                             (8.126)

 

e a reflectância

 

 

assume a forma

 

                                         .                             (8.127)

 

 

            Note-se de (8.127), que na ausência de perdas no meio 2, i.e., para , o ângulo de Brewster implica em , uma vez que

 

 

            Note-se que nessa condição, para o caso com perdas, (8.127) indica que a reflectância terá um valor mínimo, não nulo

 

                                             .                                 (8.128)

 

            Ou seja, para um meio com perdas, o ângulo de Brewster passa a ser aquele em que a reflectância atinge um valor mínimo.

 

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            As Figs. 8.11 a 8.13 ilustram as funções reflectância de meios absorvedores para polarização paralela e perpendicular. É importante notar, no caso de polarização paralela, que o ângulo de Brewster varia com o coeficiente de extinção do meio 2, em primeira aproximação, devido à variação de  com esse parâmetro. Isso está mostrado em detalhe na Fig.8.12. Em uma análise mais rigorosa, o ângulo de Brewster tem de ser determinado a partir da expressão exata do parâmetro , dada por (8.114). Outra observação importante para ambas as polarizações, é que há uma tendência natural de meios absorvedores exibirem uma aumento de reflectância relativamente a meios transparentes.

 

Fig.8.11 Reflectância de um meio absorvedor para onda p.

Fig.8.12 Detalhe do efeito de deslocamento do ângulo de Brewster em um meio absorvedor para onda p.

 

 

 

 

 

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Fig.8.13 Reflectância de um meio absorvedor para onda s.

 

 

 

8.6 Reflexão para incidência frontal em um meio condutor

 

8.6.1 Determinação dos campos dentro e fora do condutor

 

            Considere-se o caso de uma onda plana com incidência frontal em um meio metálico de alta condutividade, conforme ilustrado na Fig.8.14. O meio de entrada é o vácuo. Assumindo  a situação próxima da real em que o metal tem permeabilidade muito próxima ao valor do vácuo, a função permissividade do metal pode ser posta na forma

 

                                                                .                                                    (8.129)

 

No regime em que

 

                                                                    ,                                                        (8.130)

 

a expressão (8.129)  assume a forma aproximada

 

 

                                                                  ,                                                      (8.131)

 

e dado que

 

                                                                           

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Fig.8.14 Ilustração de uma onda eletromagnética com incidência frontal em um meio condutor.

 

                                                               ,                                                   (8.132)

 

de (8.131) tem-se

 

                                                              .                                                  (8.133)

 

Da Tabela 8.1, o coeficiente de reflexão obtido para um índice de refração complexo com partes real e imaginária dadas por (8.133) reduz-se a

 

                                                                                                                  (8.134)

 

No regime definido por (8.130) tem-se  e a expressão anterior é aproximadamente

 

                                                                     .                                                          (8.135)

 

O coeficiente de transmissão obtido da Tabela 8.1 assume a forma

 

 

                                                                                                                (8.136)


De (8.133) essa expressão reduz-se a

 

 

                                                             .                                                 (8.137)

 

            Os campos das ondas incidente e refletida são obtidos diretamente de (8.24)-(8.27) com , , e com o coeficiente de reflexão dado aproximadamente por (8.135), o que fornece

 

                                                               ,                                                   (8.138)

 

                                                           ,                                                (8.139)

 

 

                                                             ,                                                  (8.140)

                                                                           

                                                              .                                                  (8.141)

 

            O campo elétrico total no meio de entrada é dado por

 

                                                                 ,                                                     (8.142)

e o campo físico,

 

                                                              .                                                  (8.143)

 

Definindo

 

                                                                   ,                                                       (8.144)

 

utilizando-se(8.138), (8.140), (8.142)-(8.144) obtém-se

                                                                           

                                                      .                                          (8.145)

 

             Note-se que para , essa expressão pode ser posta na forma

 

                                                    .                                        (8.146)

 

            É importante notar que, diferentemente das ondas viajantes convencionais que se propagam no espaço, a distribuição do campo obtido da superposição de onda incidente com a onda refletida forma uma onda estacionária no meio 1, com os máximos e mínimos estacionários, conforme ilustrado na Fig.8.15.  O campo, na aproximação de um meio de alta condutividade, tem um valor muito próximo de zero na superfície do condutor.

 

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             O campo magnético total no meio de entrada

 

                                                                                                                    (8.147)

 



Fig.8.15 – Forma de onda do campo elétrico total no exterior do meio condutor.

 

é obtido com o emprego de (8.139) e (8.141).  O campo físico, obtido na forma usual assume a forma

 

                                                  .                                      (8.148)

 

 

            Que também forma uma onda estacionária no meio de entrada, com um máximo na superfície do condutor.  Observa-se que as formas de onda associadas aos campos elétrico e magnético estão defasadas de .  A Fig.8.16 ilustra essas formas de onda.

 

            Os campos no condutor podem ser obtidos com o emprego de (8.28)-(8.29) e (8.137) com o vetor de onda no meio condutor dado por

 

                                                             .                                                 (8.149)

o que fornece

 

                                                                           

                                                                           

                                                                          (8.150)

 

 

 

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Fig.8.16 – Formas de onda dos campos E e H na região externa ao condutor.

 

                                                                           

            O campo físico no condutor é dado por , e de (8.150)

 

 

                                                                       (8.151)

 

           

            Essa expressão mostra que o campo no condutor decai exponencialmente, e se propaga no sentido z com velocidade de fase .  Uma vez que n >> 1, a velocidade de fase no condutor é muito menor do que a velocidade da luz. Um outro aspecto importante em (8.151) é o fato de o campo ser muito pequeno no interior do condutor. Isso devido ao fator multiplicador 1/n na amplitude do campo nessa expressão.  

 

            O campo magnético no condutor é obtido de (8.29) e (8.149), o que resulta em

 

 

                                        ,



 

e com o emprego da relação  fornece

 

                                                   .



 

Utilizando (8.137) nessa última expressão, obtém-se

 

                                                 ,



ou equivalentemente

 

                                                       .                                          (8.152)

 

            O campo físico é obtido da relação

 

                                                            ,

 

o que fornece

 

                                                                                    (8.153)

           

            A Fig.8.17 mostra o comportamento do campo magnético no interior e no exterior do condutor.  Note-se que o campo magnético no interior do condutor tem um valor de entrada máximo, igual ao campo total no exterior, como deveria ser pelas condições de contorno. Vale também observar que a escala espacial de queda do campo e periodicidade são da ordem de , como indicado em (8.153).  O campo elétrico no interior do condutor não está mostrado por ter uma valor de entrada praticamente nulo, para o caso de um bom condutor.

 

8.6.2 Profundidade de penetração e resistência de folha

 

            Alguns parâmetros são úteis na descrição das propriedades de condutores, com respeito à penetração de uma onda eletromagnética. Um deles é a impedância de onda no condutor definida por

 

                                                                .                                                    (8.154)

 

Com o emprego de (8.150) e (8.152) nessa expressão, obtém-se

 

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                                                              .                                                   (8.155)

 



Fig. 8.17 Comportamento do campo magnético dentro e fora de um bom condutor.

           

            Nota-se dessa expressão que a impedância de onda do condutor é indutiva, ou seja, a energia armazenada no condutor, devido à penetração da onda eletromagnética é predominantemente magnética. Isso, de fato ocorre, uma vez que, como comentado anteriormente, o campo elétrico é muito pequeno no interior do condutor, o que não ocorre no caso do campo magnético, como mostra (8.153). Este, no entanto, apesar de começar de seu máximo na superfície, decai exponencialmente no condutor. A queda será tanto mais rápida quanto maior for o coeficiente de extinção  do condutor.

 

            O grau de penetração do campo no condutor pode ser relacionado diretamente à freqüência e à condutividade do material. A profundidade de penetração  em um condutor[2] é obtida da condição de o argumento da exponencial decrescente em (8.150) ou (8.152) ser unitário, i.e.,

 

                                                                   ,

o que fornece

 

                                                                    .                                                        (8.156)

 

Com o emprego de (8.133) essa expressão pode ser colocada na forma

 

 

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                                                               ,                                                   (8.157)

 

em que  é a freqüência em Hertz.

 

            É importante observar, que a impedância de onda pode ser redefinida em termos da profundidade de penetração. Isso pode ser obtido com o emprego de (8.155)-(8.157), o que fornece

 

                                                               ,                                                   (8.158)

 

com

 

                                                                   ,                                                       (8.159)

 

definida como a resistência de folha, cujo significado do termo e sua interpretação estão elucidados na conclusão deste Capítulo. Pelo momento basta notar, da forma de (8.159), que a resistência de folha seria aquela medida ao longo de uma direção de comprimento w com seção transversal medindo , conforme ilustrado na Fig.8.18.  Esse valor é independente do valor de w e seria a resistência medida em qualquer região quadrada do condutor de profundidade igual à profundidade pelicular .

 

            Note-se que a profundidade de penetração diminui com o aumento de condutividade. Além disso, esse parâmetro torna-se menor à medida que a freqüência aumenta. Isso implica que o uso de condutores para o transporte de energia, se torna proibitivo com o aumento da freqüência, uma vez que a seção de passagem de corrente em um condutor torna-se cada vez menor, o que implica em aumento nas perdas por efeito Ohm.  O uso de condutores para transporte de informação é também inviável com o aumento da freqüência. Por isso utilizam-se linhas de transmissão ou guias de onda, com o campo eletromagnético responsável pelo transporte de informação sendo guiado em uma região dielétrica ou vazia confinada por condutores, caso dos guias de onda metálicos ou linhas de transmissão, ou em guias dielétricos, como é o caso das fibras ópticas, para o transporte de radiação visível ou infravermelha.

 

            Os campos no metal podem ser expressos em termos da profundidade de penetração. Com o emprego de (8.156) em (8.150) e (8.152) obtém-se, respectivamente

 

                                              ,                                   (8.160)

 

                                                      .                                          (8.161)

 

8.18 – Geometria de definição da resistência de folha de um condutor.

 

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            Os campos físicos assumem portanto as formas

 

                                                         (8.162)

 

                                                                                  (8.163)

 

            A Fig.8.19 ilustra a influência da condutividade no comportamento dos campos E e H no interior do condutor em um dado instante de tempo. À medida que a condutividade aumenta, o valor de entrada do campo elétrico diminui.  A região ocupada por ambos os campos também diminui à medida que a condutividade aumenta, devido a uma diminuição na profundidade de penetração no condutor.

 

 



Fig.8.19 –Penetração de campos em um condutor.

 

 

            Para melhor elucidar o conceito de resistência de folha, considere-se o cálculo da potência ativa dissipada em um volume de dimensões , com  conforme ilustrado na Fig.8.20.  No volume flui uma corrente cuja densidade é

 

 

                                                                   ,                                                       (8.164)

 

conforme ilustrado na Fig.8.20. A corrente total que atravessa a seção transversal de dimensões  da Fig.8.20, é dada por

 

 

                                                         .

 

Inserindo (8.160) nessa expressão fornece

 

                                          ,

 

 

resultando em

 

 

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                                                  .                                      (8.165)

 

            A potencia ativa dissipada no volume é dada por

 

                                                   .                                       (8.166)

 

Inserindo (8.160) em (8.166), vem

8.20 Geometrias utilizadas no conceito de resistência de folha.

 

                                               ,

 

o que fornece

 

                                                        .                                            (8.167)

 

            A potencia ativa média no volume pode ser relacionada àquela dissipada pela corrente que atravessa o segmento de largura w e que flui ao longo da direção y de comprimento w, com o emprego da relação

 

                                                              .                                                  (8.168)

 

Assim, a resistência do quadrado de largura w pode ser obtida de

 

                                                                .                                                    (8.169)

 

Inserindo (8.159) e (8.161) em (8.163) fornece

 

 

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                                                                 ,                                                     (8.170)

 

ou seja,

 

                                                                   .                                                       (8.171)

 

            Essa última relação mostra que a resistência do quadrado de dimensões , que leva em conta a passagem de corrente por todo o volume do condutor subtendido por esse quadrado, é de fato a resistência de folha, conforme ilustrado na Fig.8.20.  Note-se que esse parâmetro não depende das dimensões do quadrado.  Esse parâmetro permite determinar, por exemplo a resistência elétrica  de uma área do condutor de comprimento l ao longo da direção x (do fluxo de corrente) para um segmento atravessado de largura w ao longo da direção y da Fig.8.20. Essa resistência seria dada por

 

                                                                  .                                                      (8.172)

 

            Os conceitos de resistência de folha e de profundidade de penetração são muito úteis na determinação de atenuação em guias de onda, por exemplo. Se as paredes condutoras do guia forem feitas de material de alta condutividade, pode-se admitir que os condutores são perfeitos para determinação de campos em uma primeira aproximação. O efeito dos campos internos às paredes podem assim ser desprezados. As perdas no guia de ondas podem ser obtidas com o emprego da resistência de folha. Nessa aproximação, tudo se passa como se a corrente de volume estivesse concentrada na superfície do condutor, com uma densidade superficial dada por

 

                                                                                                                      (8.173)

 

            Nessa aproximação, o campo magnético é considerado nulo no interior do condutor.  Com isso, a condição de contorno para o campo magnético seria aquela dada por (6.67), i.e.,

 

 

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                                                            ,                                                (8.174)

 

com  representando o vetor unitário ortogonal ao condutor e dirigido para o seu interior. Com  essa condição reduz-se a

 

                                                                 .                                                      (8.175)

 

            Em geral, o campo  no exterior do condutor é obtido como solução de um problema de valores de fronteira, como deverá ser mostrado em detalhe no Capítulo 10.  Dessa solução a densidade de corrente superficial é obtida de (8.175) e com o conhecimento da resistência de folha as perdas nas paredes condutoras podem ser determinadas.

 

            Uma outra aplicação dessa formulação é na determinação da resistência elétrica de condutores cilíndricos, por exemplo, em altas freqüências, conforme ilustrado na Fig. 8.21.  Na aproximação em que o raio a do condutor satisfaz à condição , a resistência elétrica de um comprimento l do condutor, pode ser obtida com base em (8.172), o que fornece

 

 

                                                                 .                                                     (8.176)

 

Com o emprego de (8.159) essa relação pode ser posta na forma

 

                                                               .                                                   (8.177)

 

 

 

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8.21 – Geometria de um condutor cilíndrico.

 

 

 

Problemas

 

8.1 Uma onda plana incide em uma interface localizada em x = 0. Admita que o meio de entrada, localizado na região  tenha índice de refração  e a região x > 0 tenha índice de refração .  Admitindo o vetor de onda de entrada dado por

a) Determine a equação geral do plano de incidência.

b) Determine o vetor de onda da onda refletida.

c) Determine o vetor de onda da onda transmitida.

d) Determine os ângulos de incidência e de refração.

e) Faça um desenho mostrando a disposição do sistema de coordenadas, vetores e ângulos envolvidos.

 

8.2 Para o Problema 8.1, admita que ambos os meios sejam não-magnéticos, i.e., .  Admita que o campo elétrico associado à onda incidente tenha amplitude .

a) Escreva uma possível expressão para o vetor campo elétrico da onda incidente, se esta está polarizada no plano de incidência.

b) Para essa expressão do vetor campo elétrico determine o vetor campo magnético da onda incidente.

c) Faça um desenho mostrando a disposição do sistema de coordenadas e grandezas vetoriais envolvidas.

c) Determine os coeficientes de reflexão e transmissão para essa polarização.

d) Determine os vetores campo elétrico e magnético da onda transmitida.

e) Determine a reflectância e a transmitância da interface.

f) Determine a potência total refletida e transmitida de uma porção da interface de comprimento W = 1m na direção y e comprimento L = 1m na direção z.

 

8.3 Repita o Problema 8.2 para  e admitindo que o campo incidente tenha polarização perpendicular ao plano de incidência.

 

8.4 Para o Problema 8.2, determine o campo total sdf no meio 1 e no meio 2.

8.5 Para o Problema 8.3, determine o campo total sdf no meio 1 e no meio 2.

8.6 Para o Problema 8.2, determine a energia média total armazenada na região

 

                                        

 

8.7 Para o Problema 8.3, determine a energia média total armazenada na região

 

                                        

 

8.8 Uma onda plana incide em uma interface planar. O meio de entrada tem permeabilidade relativa e permissividade relativa dadas, respectivamente, por . O meio de saída é o vácuo.

a) Determine os coeficientes de reflexão e de transmissão para incidência normal.

b) Determine o ângulo critico para reflexão interna total.

c) Determine o ângulo de Brewster.

 

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8.9 Determine a relação entre os parâmetros materiais ,  e  ,  dos dois meios separados por uma interface planar, para que o ângulo de Brewster associado a uma onda p  incidente no meio 1 tenha ângulo de Brewster

 

8.10 Considere uma interface entre meios não-magnéticos, i.e., .  Assuma que uma onda plana polarizada no plano de incidência incida do vácuo (meio 1) para o meio material (meio 2). É possível se obter um ângulo de Brewster  para algum índice de refração do meio 2?

 

8.11 Mostre que para meios não magnéticos, o ângulo de Brewster para ondas p, equivale à condição .  Interprete esse resultado a partir de um diagrama mostrando a orientação relativa dos vetores de onda das ondas incidente, refletida e refratada.

 

 

8.12 Uma onda plana incide do vácuo (meio 1) em uma interface localizada em z = 0. Admita que o vetor de onda da onda incidente seja dado por .  Admita que o campo elétrico associado a essa onda plana seja dado por

 .


 
O meio 2, localizado na região , tem índice de refração  e impedância de onda .

a) Determine o vetor campo magnético da onda incidente

b) Determine os vetores campo elétrico e campo magnético das ondas refletida e refratada.

c) Determine o menor ângulo entre  a direção da componente tangencial à interface do campo elétrico refletido e aquela do campo elétrico incidente.

d) Determine o menor ângulo entre  a direção da componente tangencial à interface do campo elétrico transmitido e aquela do campo elétrico incidente.

 

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8.13     Considere uma onda plana incidente do vácuo (meio 1) em uma interface localizada em z = 0. O meio 2 tem permeabilidade  e é absorvedor, com índice de refração complexo .  Admitindo que o ângulo de incidência seja , determine o ângulo de refração  .

8.14 Para o caso da interface definida no Problema 8.13, determine a reflectância para incidência normal, i.e., .

8.15 Para o caso da interface definida no Problema 8.13:

a) Determine aproximadamente o ângulo de Brewster, de acordo com a formulação descrita no texto.

b) Determine o valor da reflectância mínima, de acordo com a formulação desenvolvida neste Capítulo.

8.16 Considere uma onda plana incidente do vácuo em um bom condutor, localizado na região z > 0.  Admita que . Determine uma expressão para a potência média dissipada no meio condutor por unidade de área de sua superfície.

8.17 Considere um condutor com condutividade . Determine a profundidade de penetração para:

a) .

b)

c)

8.18 Para um campo de amplitude  com incidência normal em um meio condutor, determine o módulo da amplitude de entrada do campo elétrico transmitido no condutor(i.e., calculado em z = 0), para cada uma das condições especificadas no Problema 8.17.



[1] Um dos casos em que esse parâmetro é complexo é tratado na seção 8.4

[2] O subscrito s advém do inglês skin (pele ou película. Skin depth – Profundidade pelicular)