Eletromagnetismo - Parte 2 - Linhas de Transmissão

Eletromagnetismo - Parte II

Capítulo 9

Linhas de Transmissão

 

 

        

 

Eduardo Fontana, PhD

Professor Titular

Departamento de Eletrônica e Sistemas

Universidade Federal de Pernambuco

 
 1a. Edição - Versão 1.0 - 09/03/2013
Versão atual - 1.5 - 01/08/2013
Copyright 2011/2012/2013 by Eduardo Fontana

 

 

Recife, 2011-2013



Índice

  



Capítulo 9 - Linhas de Transmissão

 

9.1 Introdução

 

            Linhas de transmissão e guias de onda são estruturas guiantes, longitudinais, utilizadas para o transporte de informação e energia. Linhas de transmissão formam uma classe especial de guias de onda, em que o campo eletromagnético se propaga na direção longitudinal da estrutura, sendo assim guiado por esta.  A diferença de terminologias se dá em função dos tipos de modos que uma ou outra estrutura pode suportar.  Linhas de transmissão, com estruturas típicas mostradas na Fig.9.1, compostas por uma configuração longitudinal de dois ou mais condutores imersos em um dielétrico homogêneo, podem suportar modos transversais eletromagnéticos (TEM) em que os campos elétrico e magnético são inteiramente contidos no plano ortogonal à direção de propagação. Esse regime de operação se dá até uma certa freqüência, acima da qual modos de ordem superior podem ser excitados na linha de transmissão.  Outras estruturas guiantes que suportam exclusivamente modos eletromagnéticos em que os campos têm de ter uma componente longitudinal,  são tratados separadamente no Capítulo 10.

 

            Linhas de transmissão são utilizadas em aplicações de baixa potência para o transporte de informação em sistemas de telecomunicações, no transporte de dados entre diferentes porções de circuitos integrados e processadores, e no caso de alta potência, para o transporte de energia em sistemas de alta tensão.

 

 


    Cabos paralelos

 

 

 

 

 

Cabo coaxial

 

 

 

sdf

 

Linha de fita - um dielétrico

 

Fig.9.1 – Algumas estruturas típicas de linhas de transmissão.

 


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9.2 Modos TEM em linhas de transmissão sem perdas

 

            No método formal de obtenção de campos em linhas de transmissão tratado a seguir, assume-se, em uma primeira aproximação que os condutores constituintes da linha de transmissão sejam condutores perfeitos, i.e., com condutividade infinita. Nesse regime, e no caso variante no tempo, a profundidade de penetração no condutor, que é inversamente proporcional à condutividade é nula e os campos eletromagnéticos não penetram nos condutores. A corrente elétrica que é proporcional ao campo elétrico fica assim confinada inteiramente na superfície dos condutores.

 

 

9.2.1 Método formal de determinação de campos em linhas de transmissão

 

            A Fig. 9.2 mostra a seção transversal da estrutura de dois condutores de uma linha de transmissão.  Estruturas desse tipo suportam configurações de campos elétrico e magnético, inteiramente contidas no plano transversal.  Esses modos são denominados de modos TEM, i.e., modos transversais eletromagnéticos.  Seja portanto a existência de um modo TEM para a estrutura da Fig.9.2, i.e., com.  Uma vez que a estrutura é ilimitada na direção z, a dependência com essa coordenada, corresponde a uma onda viajante no sentido +z, sendo do tipo exponencial complexa. Assim, os campos na estrutura podem ser postos nas formas

 

                                                            ,                                                    (9.1)

 

 

                                                           ,                                                   (9.2)

 

em que  é denominada de constante de propagação, um parâmetro ainda a ser determinado.  Inserindo essas expressões em (7.213) vem

 

 

                                           .

 

Decompondo o operador  na forma

 

                                                              ,                                                       (9.3)



e inserindo na expressão anterior, fornece

 

 

                                                .                                         (9.4)


 


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            Igualando as componentes vetoriais de ambos os membros de (9.4) fornece

 

                                                                                                                          (9.5)

 

 

                                                                                                                  (9.6)



Fig.9.2 – Estrutura de uma linha de transmissão de dois condutores.

 

            Observa-se dessa relação que uma vez obtido ,  pode ser determinado.

 

            Da Eq. de Maxwell  em uma região livre de fontes, dada por (7.214) e para um meio de transmissão linear, homogêneo e isotrópico tem-se

 

                                                                   .                                                           (9.7)

 

Utilizando (9.1) e (9.3) em (9.7) fornece

           

                                                       

 

Dado que , obtém-se

 

                                                                 .                                                         (9.8)

 

De (9.5) a componente transversal do campo elétrico pode ser posta na forma

 

                                                             ,                                                    (9.9)


que inserida em (9.8), fornece

 

                                                                    .                                                          (9.10)

 

            Ou seja, a função de duas variáveis  satisfaz à Eq. de Laplace. Isso implica que no plano xy, o campo elétrico transversal tem características de um campo estático. Em particular a circulação do campo transversal ao longo de uma trajetória fechada no plano é nula, i.e.,

 

 


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                                                                                                                      (9.11)


 

ou seja, a diferença de potencial entre dois pontos no plano independe do caminho de integração nesse plano. 

 

            Uma segunda propriedade das expressões (9.5) e (9.8) é obtida da identidade vetorial

 

                                          ,

 

que em vista de (9.5) e (9.8) reduz-se a

 

                                                                           

                                                                                                                            (9.12)

 

 

            Essa expressão permite determinar o parâmetro . Para isso, vale lembrar que as equações de Maxwell no regime harmônico (7.213)-(7.216) levam à Eq. de Helmholtz (7.217) para os campos elétrico ou magnético. Para o campo elétrico (7.127) é da forma

 

                                                                                                                    (9.13)

com, , .  O parâmetro

 

                                                                      ,                                                            (9.14)

 

que já foi introduzido no Capítulo 7, será denominado a partir deste ponto a permissibilidade do meio (não confundir com os parâmetros permissividade  ou permeabilidade ).  Correspondentemente, o parâmetro  é a permessibilidade relativa do meio.

 

            Para o campo elétrico tem-se

 

 

Dado que o laplaciano pode ser escrito na forma

 

 


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                                                               ,                                                     (9.15)

 

e com o emprego de (9.1) obtém-se

 

                                                                           

                                                                                                    (9.16)

 

 

            Dada a condição (9.10) essa última relação reduz-se a

 

                                                             .                                                    (9.17)


Para , essa equação tem como solução

 

                                                                                                                                  (9.18)

 

            A solução de sinal positivo (negativo) corresponde a uma onda que se propaga no sentido +z . Ou seja, o modo TEM, que corresponde à solução de mais baixa ordem em uma linha de transmissão tem uma constante de propagação, ou número de onda, igual a de uma onda plana se propagando no mesmo sentido em um meio ilimitado tendo as mesmas propriedades eletromagnéticas, representadas pelo índice de refração n.

 

            Obtida a constante de propagação de (9.18), o campo pode ser obtido de (9.4). Após algumas manipulações algébricas obtém-se

 

 

                                                              ,                                                    (9.19)

com

 

                                                                                                                                (9.20)


 


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representando a impedância de onda do modo TEM.  É importante observar que esse resultado implica que a impedância de onda dos campos associados ao modo TEM é a mesma de uma onda plana em um meio ilimitado.

           

 

            Assim, a determinação de campos em linhas de transmissão pode ser obtida da seguinte forma:

 

1.  Obtém-se a função potencial resolvendo a Eq. de Laplace bidimensional (9.10)

2.  Obtém-se o campo elétrico de (9.9)

3.  Obtém-se o campo magnético de (9.19)

 

            As propriedades eletromagnéticas da linha de transmissão podem então ser obtidas das soluções para os campos, conforme mostrado no exemplo a seguir.

---

Exemplo 9.1: Determinação dos campos do modo TEM em um cabo coaxial infinitamente longo.

 

            A Fig.9.3 mostra um pequeno trecho longitudinal de um cabo coaxial que consiste de um condutor central cilíndrico de raio a, e uma malha condutora cilíndrica externa de raio interno b.  A região  é preenchida com um meio de permissividade elétrica  e permeabilidade magnética .  Admite-se que a estrutura seja muito longa e que o cabo seja excitado na entrada com uma fonte com freqüência angular .  De acordo com a formulação descrita nesta seção, essa estrutura pode suportar uma onda eletromagnética TEM. Em cada plano z = constante, pode-se obter uma função potencial que assuma valores constantes nas circunferências r = a e r = b.  Seja por exemplo a solução de (9.10) em z = 0, sujeita às condições de contorno

 

 

Fig.9.3 – Trecho longitudinal de um cabo coaxial.

 

                                                                ,

 

                                                                .

 

            Em coordenadas cilíndricas (9.10) assume a forma

 

                                                      ,                                            (9.21)

 


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e tendo em vista a simetria de translação na direção z, esta última equação reduz-se a

                                                               ,                                                     (9.22)

 

cuja solução já obtida no Capítulo 3 tem a forma geral

 

 

                                                               .                                                      (9.23)

 

Aplicando as condições de contorno, obtém-se A e B e (9.23) assume a forma

                                                                           

                                                           .                                                 (9.24)

 

Em (9.24),  (Volts) pode ser determinado da potência de saída da fonte que alimenta o cabo coaxial.

 

De (9.9), a amplitude do campo elétrico, pode ser escrita na forma

 

                                                                ,                                                               

 

e de (9.24), obtém-se

                                                            .                                                  (9.25)

 

            O campo magnético transversal é obtido de (9.19), o que fornece

 

                                                          .                                                (9.26)

 


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Os campos no cabo coaxial, obtidos de (9.1) e (9.2), são portanto

 

 

                                                         ,                                               (9.27)

                                                       ,                                             (9.28)

 

 

com  e Z dado por (9.20).

---

 

9.2.2 Grandezas representativas de linhas de transmissão

 

A. Tensão e corrente

 

            As grandezas elétricas características de uma linha de transmissão podem ser obtidas das grandezas de campo. Considere a seção transversal de uma linha de transmissão ilustrada na Fig.9.4, localizada no plano z = 0. Assume-se que um dos condutores esteja submetido ao potencial V0, e que o segundo esteja aterrado. Uma vez que em cada seção transversal de uma linha de transmissão a distribuição de potencial obedece à Eq. de Laplace, e está diretamente relacionada à solução para o campo elétrico, que varia longitudinalmente de acordo com (9.27), e dado que em z = 0, a tensão entre eletrodos é V0, a tensão ao longo do cabo é da forma

                                                                 .                                                        (9.29)

 

            Raciocínio análogo se aplica à corrente que flui, por exemplo, no sentido +z, considerado o condutor à esquerda na Fig.9.4.  É importante observar que não há componente z do campo elétrico, e por conseguinte do vetor densidade de fluxo elétrico. Isso implica que não há componente z da densidade de corrente de deslocamento. Consequentemente, a corrente elétrica no condutor à esquerda na Fig.9.4 pode ser obtida da lei de Ampère, i.e.,

 

                                                           ,                                                 (9.30)



 


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em que C é o caminho fechado aí indicado. Essa expressão mostra que a corrente varia longitudinalmente na forma

                                                                  ,                                                        (9.31)

com I0 dada por

                                                              .                                                    (9.32)

 

Fig.9.4 – Configuração da linha de transmissão no plano z = 0.

                                                                           

 

B. Capacitância por unidade de comprimento da linha de transmissão

 

            A capacitância por unidade de comprimento pode ser calculada com base na formulação desenvolvida no Capítulo 3, para obtenção da capacitância como solução de um problema de valores de fronteira. Basta apenas calcular a densidade superficial de cargas no condutor submetido ao potencial V0 indicado na Fig.9.4, que é simplesmente

 

                                                     ,                                           (9.33)

 

em que é o vetor unitário dirigido para o exterior do condutor, e é sua superfície. A carga de superfície  em uma seção diferencial de comprimento  do condutor submetido ao potencial V0 é simplesmente

 

 


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                                                        ,                                              (9.34)


 

ou alternativamente, em vista de (9.9)

 

                                                      .                                            (9.35)

 

            A capacitância por unidade de comprimento

 

                                                                ,                                                      (9.36)    

 

com o emprego de (9.34) é portanto

 

                                                                                                        (9.37)



 

            Uma vez que o numerador dessa expressão é proporcional a V0, a capacitância por unidade de comprimento é função apenas da permissividade elétrica e da geometria transversal da linha de transmissão. Em essência a capacitância por unidade de comprimento é calculada com a formulação já desenvolvida no Capítulo 3 para a solução de problemas de valores de fronteira.

           

            Uma segunda forma de calcular a capacitância, que mostra a analogia com o cálculo de indutância, pode ser obtida por meio da energia elétrica armazenada em um comprimento diferencial longitudinal  da linha de transmissão.  Com base em (7.88) e (7.93) a energia elétrica média armazenada em um volume entre condutores tendo comprimento longitudinal diferencial é dada por

 

                                       ,                             (9.38)



 

em que  é a área da seção transversal externa aos condutores, mostrada na Fig.9.4. A expressão (3.15) para a energia armazenada, no regime fasorial fornece

 

                                                                ,                                                      (9.39)

 

e para um comprimento , (9.39), expressa em termos da capacitância por unidade de comprimento, assume a forma

 

                                                            .                                                  (9.40)

 

Combinando (9.39) e (9.40) obtém-se finalmente

 

                                                         ,                                               (9.41)

 


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C. Indutância por unidade de comprimento

 

            Para um comprimento  da linha de transmissão tem-se uma indutância série que pode ser obtida a partir das expressões para a energia magnética armazenada nesse comprimento diferencial. A energia magnética média armazenada no volume de comprimento longitudinal , obtida de (7.89) e (7.94) pode ser posta na forma

 

                                                      ,                                            (9.42)

 

ou equivalentemente, com emprego da relação constitutiva , e notando que a permeabilidade magnética é real,

                                                      .                                             (9.43)



            A energia magnética média do trecho de comprimento diferencial  com emprego da indutância por unidade de comprimento, é obtida a partir de (6.34) e assume a forma

 

                                                            .                                                  (9.44)

 

Igualando (9.43) e (9.44) resulta em

 

                                                         .                                               (9.45)



D. Impedância característica

 

            A impedância característica da linha de transmissão é a razão entre as ondas de tensão e corrente que se propagam em um dado sentido ao longo da linha, como por exemplo no sentido +z, i.e.,

 

                                                                     ,


 


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ou equivalentemente, com o emprego de (9.29) e (9.31),

 

                                                                    .                                                          (9.46)


 

            Uma vez que o campo magnético transversal é proporcional ao parâmetro V0, a razão em (9.33) fica dependente apenas da geometria transversal da linha de transmissão e dos parâmetros eletromagnéticos do meio de imersão dos condutores.

           

            Uma conexão direta entre impedância característica, capacitância e indutância pode ser obtida com base nas relações entre campos elétrico e magnético e com o emprego de (9.41) e (9.45). Dessas expressões, tem-se

                                                     ,





e utilizando (9.19) e (9.46) resulta em

 

                                                                 ,

que em vista de (9.20) reduz-se a

                                                                  .



 


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            Em vista de (9.19), (9.30) e (9.37) e do fato de Cl ser um parâmetro real, a impedância característica da linha de transmissão sem perdas também é real e a última expressão pode ser escrita na forma

 

                                                                   .                                                         (9.47)

 

            A expressão (9.47) mostra a importância dos parâmetros distribuídos Ll e Cl na determinação da impedância característica de uma linha de transmissão.

 

 

E. Velocidade de fase

 

            Para uma onda plana em um meio linear sem perdas a velocidade de fase obtida de (7.224) é dada por

 

                                                                    .                                                          (9.48)



Esse parâmetro em uma linha de transmissão é diretamente relacionado com a indutância e capacitância. Para verificar isso, seja a expressão para a corrente no condutor submetido ao potencial V0.  Inserindo (9.19) em (9.32) vem

 

                                                        ,



em que C é o caminho fechado indicado na Fig.3.4 e a orientação de corresponde à orientação do caminho. Em vista da propriedade (1.39) para o produto misto essa integral pode ser posta na forma

                                                        .



Da Fig.9.4 tem-se  e portanto

 

                                                            .                                                  (9.49)



 


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De (9.34) e notando da lei de Gauss que

 

                                                       ,




com C+ sendo o caminho fechado mostrado na Fig,9.4, (9.49) pode ser posta na forma

 

                                                                .                                                      (9.50)

 

Utilizando (9.36) e (9.46) em (9.50) fornece

 

                                                                   ,                                                         (9.51)

 

e de (9.48) a velocidade de fase também pode ser escrita na forma

 

                                                                  .                                                         (9.52)

 

F. Fluxo de potência

 

            A potência eletromagnética transportada pela onda eletromagnética guiada pela linha de transmissão pode ser obtida por integração do vetor de Poynting na área  da seção transversal da linha de transmissão, ou seja,

 

                                                    ,

e de (9.19)

 

                                                                                                            (9.53)


 


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Das relações anteriores, com alguma manipulação algébrica, e como já discutido no Capítulo 7, para meios sem perdas, pode-se mostrar que as energias elétrica e magnética em um comprimento diferencial da linha de transmissão são iguais, ou seja,

 

                                                         ,                                               (9.54)

em que                                                               

                                                                                                    (9.55)



é a energia eletromagnética total armazenada no volume considerado. Com o emprego de (9.53) e (9.55), com o auxílio de (9.20), pode-se mostrar que

 

                                                                .                                                       (9.56)

 

            Essa última relação pode ser utilizada para obtenção de uma expressão alternativa para a potência que flui na linha de transmissão em função da tensão e corrente no plano z = 0. Para isso, das expressões (9.40) e (9.44) tem-se

 

                                        .                              (9.57)

 

Utilizando (9.52) e (9.56) em (9.57) resulta em

 

                                                 .                                       (9.58)

 

            Essa última expressão evidencia a conexão entre fluxo de potência e as grandezas tradicionais tensão e corrente, utilizadas na teoria de circuitos.

---

Exemplo 9.2: Parâmetros característicos do cabo coaxial

 

            Para o cabo coaxial da Fig.9.3, a capacitância por unidade de comprimento, obtida de (9.37) com o auxílio de (9.25) é dada por

                                                   ,

e portanto                                                          

                       

                                                                                                                      (9.59)


 


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            Para obtenção da indutância por unidade de comprimento, pode-se utilizar (9.51) em (9.59) por exemplo, o que fornece

 

                                                               .                                                     (9.60)

 

            Note que esse resultado corresponde à indutância externa do cabo coaxial, dada por (6.44) para o caso .  A impedância característica do cabo coaxial é obtida com o emprego de (9.59) e (9.60) em (9.47), o que fornece

 

                                                             ,                                                   (9.61)



ou alternativamente

                                                                                                                   (9.62)


---

9.2.3 Linhas de transmissão com perdas

 

A. Perdas por condução

 

            Uma questão importante ao se considerar o emprego de linhas de transmissão no transporte de informação ou energia é a atenuação introduzida pelas perdas dissipativas nos condutores, bem como, pelas perdas dielétricas ou magnéticas. O cálculo desse parâmetro é importante, pois impõe limitações de distância na transmissão seja de energia ou de informação entre pontos remotos.  Nesta seção as perdas nos condutores são analisadas.

 

            A solução para os campos guiados por uma linha de transmissão no caso em que os condutores exibem perdas, é de difícil obtenção, uma vez que seria necessário resolver um problema de valores de fronteira em que os campos no interior dos condutores também teriam de ser determinados.  No entanto, para o caso de pequenas perdas, em que os condutores têm alta condutividade, e no regime em que a penetração nestes é muito pequena relativamente às dimensões envolvidas, uma boa aproximação é utilizar a solução para os campos obtidas no caso de condutores perfeitos.  Com base nessa solução, pode-se obter, com muito boa aproximação, a atenuação devido às perdas de condução. Uma forma de analisar essa questão é através do conceito de resistência de folha, desenvolvido no Capítulo 8.  Alternativamente, o teorema de Poynting pode ser usado para determinar as perdas tanto de condução quanto dielétricas/magnéticas.

 

           

            De acordo com a discussão do Capítulo 8 os efeitos de dissipação em condutores imersos em uma região de campos variantes no tempo, na aproximação do condutor exibir alta condutividade, podem se levadas em conta com o emprego do conceito de resistência de folha. Esse conceito pode ser utilizado, de forma aproximada quando a profundidade pelicular é muito menor que o raio de curvatura do condutor.

 

            A solução para os campos guiados por uma linha de transmissão no caso em que os condutores exibem perdas tem uma dificuldade analítica, uma vez que seria necessário resolver um problema de valores de fronteira em que os campos no interior dos condutores também teriam de ser determinados.  No entanto

 

 

            Para uma onda TEM a densidade de corrente superficial no condutor pode ser obtida de (8.175), i.e.,

 

                                                                 ,                                                       (9.63)

 

em que  é o vetor unitário normal à superfície do condutor e dirigido para o seu interior.        

 

            A Fig.9.5 ilustra a disposição dos vetores que compõem (9.63), em cada superfície condutora de uma linha de transmissão. Como discutido no Capítulo 8, essa corrente de superfície é na realidade o efeito integral da densidade de corrente volumétrica no condutor, que por sua vez é paralela ao campo elétrico no condutor. Isso implica que existe uma componente longitudinal do campo elétrico, paralela ao vetor .

 


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Fig.9.5 – Disposição dos vetores de campo nas superfícies condutoras.

 

            O campo elétrico longitudinal pode ser obtido na aproximação em que o raio de curvatura do condutor é grande comparado à profundidade de penetração .  Nessas condições, pode-se admitir que o campo eletromagnético penetra no condutor na forma de uma onda plana com incidência frontal, exponencialmente decrescente conforme discutido no final do Capítulo 8.  Essa situação está ilustrada na Fig.9.6. 

 

Fig.9.6 – Orientação relativa dos campos no interior de um condutor.

 

 

            No interior do condutor, o campo magnético é dado por

           

                                                                                                              (9.64)


 


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com  representando o campo elétrico no condutor e, conforme (8.158), i.e.,

 

                                                               ,                                                              

 

a impedância do condutor, em que  é a resistência de folha, dada por (8.159), i.e.,

 

                                                                   ,                                                                  

 

com  representando a profundidade de penetração, dada por (8.157).

 

            Note que, levando em conta que o campo de fato penetra no condutor, a condição de contorno original seria

 

                                                                   ,                                                         (9.65)

 

uma vez que o campo  é aquele obtido na condição de condutores perfeitos, sendo portanto tangencial em cada ponto das superfícies condutoras.

 

            Fazendo o produto vetorial em ambos os membros tem-se

 

 

                                                      .



 

Usando a identidade vetorial (1.40), reproduziad abaixo

 

                                               ,                                     (1.40)

 

obtém-se

 

                               .

 

Dado que

 

                                                         

 

vem

 

                                                             

 

ou equivalentemente

                                                            

 

o que fornece

 

                                                                                                                           (9.66)

 

            De acordo com a discussão no final do Capítulo 8, a resistência  de uma porção longitudinal de comprimento  tendo segmento transversal  atravessado pela corrente no condutor, conforme ilustrado na Fig.9.7, pode ser obtida pela relação (8.172), ou seja,

 

                                                                                                


 


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Fig.9.7 – Geometria para o cálculo da resistência de uma porção do condutor.

 

 

            O resultado (8.168), para a potência ativa dissipada no volume de penetração dos campos do condutor pode ser generalizado para determinar a potência dissipada em um volume diferencial do condutor, subtendido por um segmento diferencial  atravessado ortogonalmente pela corrente de superfície , conforme ilustrado na Fig. 9.8.  Essa porção fornece uma corrente

 

 

                                                                  .                                                        (9.67)

 

Utilizando (8.168) e (8.172), obtém-se para um segmento longitudinal  uma potência dissipada

 

                                                                                                              (9.68)

 

Inserindo (9.67) em (9.68) obtém-se

 

 

                                                      

 

 

            Essa expressão permite obter a atenuação da onda ao se propagar na linha de transmissão.  Se as superfícies dos condutores têm perímetros , conforme mostrado na Fig.9.8, a potência dissipada em um comprimento , pode ser obtida de

 

 

                                        ,                              (9.69)

 

em que o sinal +  está associado ao condutor em que a corrente flui no sentido +z .  É importante observar que essas integrais são positivas definidas. Ou seja, o caminho de integração sempre é realizado de forma que o resultado seja positivo.

Fig.9.8 – Geometria para cálculo da potência dissipada nos condutores de uma linha de transmissão.

 

            Na situação simples em que a corrente de superfície tem densidade constante em cada condutor (9.969) reduz-se a

 

 

                                            ,                                  (9.70)

 

com  representando os perímetros dos caminhos . No caso em que os condutores são idênticos, i.e., , e notando que nessa hipótese , (9.70) reduz-se a

 

                                                             ,                                                   (9.71)

 

com

 

                                                                                                                          (9.72)

 


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representando um perímetro equivalente àqueles dos dois condutores.

 

            Resta determinar a atenuação da potência eletromagnética. De acordo com o teorema de Poynting, flui uma potência ativa, que em um ponto de coordenada z, é dada por

 

                                                              .                                                    (9.73)

 

A expressão (9.73) ou seus casos particulares, mostra que a potência ativa cai a uma taxa

 

                                                                                                                    (9.74)

Utilizando (9.70) obtém

 

 

                                     .                            (9.75)

 

Devido às perdas, a potência deve decair exponencialmente com uma constante de atenuação , tal que

 

                                                                                                                  (9.76)

 

o que equivale a uma taxa de variação

 

                                                          ,                                                (9.77)

 

ou equivalentemente, a uma constante de atenuação de amplitude

 

                                                         .                                               (9.78)

 


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            Substituindo (9.73) e (9.75) em (9.78), fornece a expressão procurada para a constante de atenuação

 

                                     .                           (9.79)





            Alternativamente, essa expressão pode ser escrita em termos do campo magnético tangencial, calculado para o caso ideal. É importante observar que

 

                                           ,

 

e portanto (9.79) pode ser escrita na forma

 

                          .                (9.80)




 

 

 


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em que  representa o campo tangencial na superfície do condutor correspondente.  É importante observar que o resultado independe da corrente, uma vez que o campo magnético é uma função linear da corrente em cada condutor.

 

            Por exemplo, na hipótese de os dois condutores forem de mesmo material e com distribuição de corrente superficial constante, em que é válida a expressão (9.67), (9.80) reduz-se a

 

                                                                 .                                                       (9.81)

 

            Essa expressão demonstra a importância dos conceitos de resistência de folha e impedância característica da linha, dada, entre outras coisas, a relação direta destes com a constante de atenuação da linha de transmissão.

 

Exemplo 9.2 Determinação da constante de atenuação de um cabo coaxial devido às perdas de condução.

 

            Para o cabo coaxial ilustrado na Fig.9.3 em que os condutores interno e externo têm a  mesma condutividade, e assumindo válida a hipótese , as correntes de superfície em ambos os condutores são uniformes. Assim, (9.81) pode ser utilizada.  De (9.72), tem-se

 

 

                                                   

e (9.81) fornece

 

 

                                                          .                                                (9.82)

 

B. Perdas dielétricas

 

            Levando em conta apenas o efeito de perdas de natureza dielétrica ou magnética, a constante de propagação na linha de transmissão assume a forma complexa

 

                                                                     ,                                                           (9.83)

 

em que o índice de refração complexo é dado, em termos da permissibilidade relativa

 

                                                            ,                                                  (9.84)

com

 

                                                               .                                                     (9.85)

 

Como mostrado no Capítulo 7, para pequenas perdas,

 

                                                                    ,                                                           (9.86)

 

                                                               .                                                     (9.87)

           

            Assim, (9.83) assume a forma

 

                                                       ,                                             (9.88)

em que

 

 

                                                                                                                   (9.89)

 

é a constante de fase e

 

                                                           ,                                                 (9.90)



 

é a constante de atenuação devido às perdas dielétricas e magnéticas no meio de preenchimento. Note que na aproximação de pequenas perdas, e para o modo TEM em uma linha de transmissão, a constante de atenuação, devido às perdas materiais no meio de preenchimento, independe dos parâmetros geométricos da linha de tranmissão.

 

            A constante de atenuação na linha de transmissão, levando em conta tanto as perdas nos condutores, quanto aquelas no meio de preenchimento é obtida simplesmente pela adição de (9.79) e (9.90), i.e.,

 

                                                                .                                                       (9.91)

 


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C. Obtenção da atenuação diretamente do teorema de Poynting

 

            Para pequenas perdas, o teorema de Poynting permite obter a constante de atenuação, com base no emprego da solução para os campos obtidos no caso sem perdas. Essa forma de obtenção de parâmetros, a partir da solução não perturbada para os campos, é a essência da Teoria da Perturbação, válida no regime de pequenas perdas.

 

            A potência ativa  que flui ao longo da direção de propagação, é assumida na forma (9.76), i.e,

 

                                                              ,                                                    (9.92)

 

em que  é a constante de atenuação e P0 é a potência obtida em z = 0, assumindo os campos obtidos para uma linha sem perdas, i.e.,

 

                                                 ,

 

o que equivale a uma das formas alternativas

 

                                                          ,                                              (9.93a)

 

                                                          .                                              (9.94b)

 

Nessas expressões, Z é a impedância de onda, obtida na ausência de perdas, i.e.,

 

                                                                   ,.                                                         (9.95)

            A expressão (9.92), implica na relação

 

                                                            .

Em  z = 0, por exemplo

 

                                                          .                                                (9.96)


 


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            Seja a aplicação do teorema de Poynting dado por (7.93) para um comprimento  da linha de transmissão, que encerra as superfícies e caminhos mostrados na Fig.9.9.  A diferença entre potências ativas que fluem através das superfícies transversais localizadas em z e  é dada por

 

 

 

                                      .                            (9.96)

 

Em termos das potências ativas dissipadas no volume e nos condutores, tem-se

 

                                     ,                           (9.97)

 

em que, de acordo com (7.93),



Fig.9.9 – Geometria para cálculo de perdas em um trecho longitudinal de uma linha de transmissão.

 

                      ,            (9.98)

 

                                                                                  (9.99)

e

 

                                              .                                  (9.100)


 


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Em (9.99) e (9.100) os campos são aqueles obtidos no caso ideal. Em (9.98) os campos são aqueles no interior de cada metal, e calculados na respectiva superfície e  é o vetor ortogonal ao segmento , dirigido para o interior do condutor correspondente, conforme ilustrado na Fig.9.9. Admitindo que o raio de curvatura mínimo de cada caminho  seja grande relativamente à profundidade de penetração, pode-se admitir que os campos no condutor satisfaçam à condição de onda plana, i.e.,

 

                                                         .                                             (9.101)

 

Além disso, o campo magnético no metal, satisfaz à condição de contorno

 

                                                                 ,                                                     (9.102)

 

em que  representa o campo tangencial na superfície do condutor correspondente, calculado no regime sem perdas. Utilizando (9.101) com o emprego de (9.102) e de (1.41), tem-se

 

                                                          .                                              (9.103)

 

Substituindo (9.103) em (9.98), com o auxílio de (1.41) fornece

 

                           .



 

Com base em (8.158) essa relação pode ser posta na forma

 

 

                                    .                         (9.104)

 

De (9.99) tem-se

 

 

                                               .

 

Dado que  e , e com base em (9.92) essa última expressão assume a forma

 

 

e

 

                                                            .                                                (9.105)

 

De forma semelhante, para (9.100) obtém-se

 

 

                                              .

 

 


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Dado que , e com base em (9.92), obtém-se

 

                                                           .                                               (9.106)

 

 

A soma de (9.105) com (9.106) fornece

 

                                             .                                 (9.107)

 

Considere o termo entre parêntesis no segundo membro dessa expressão.  Dado que na aproximação de pequenas perdas , tem-se

 

                               ,




 

e inserindo esse resultado em (9.107) obtém-se

 

                                               .                                   (9.108)


 


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Para identificar melhor o significado de (9.108), a permissibilidade relativa é re-escrita na forma

 

                                              ,

 

donde

 

                                          .                               (9.109)

Em primeira ordem

 

                                                                ,                                                    (9.110)

                                                                           

                                                              .                                                  (9.111)

 

e (9.108) pode ser posta na forma

 

                                                      .                                          (9.112)

 

 

A constante de atenuação é obtida com base em (9.95)-(9.97), (9.104) e (9.112), o que fornece (9.91), reproduzida abaixo

 

                                                                ,

com

 

                                                               ,                                                   (9.113)

 

 

                                                        .                                            (9.114)

 

 

Utilizando (9.93a) e (9.104) em (9.113) obtém-se

 

                            .                (9.115)




 

Note que (9.115) tem denominador diferente de (9.80), mas é fácil mostrar que ambas as formas são equivalentes.

 

            Utilizando (9.112) em (9.114), fornece

 

                                                                ,                                                    (9.116)


 


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que é o resultado expresso em (9.90).

 

D. Circuito equivalente de um trecho longitudinal diferencial de uma linha de transmissão

 

            A discussão das seções anteriores mostrou que um trecho longitudinal de uma linha de transmissão de comprimento  contém os elementos de armazenamento de energia elétrica e magnética, representados, respectivamente por um capacitor em paralelo com capacitância  entre os condutores e um indutor em série com indutância , conforme ilustrado na Fig.9.10.  As expressões (9.41) e (9.45), por exemplo, permitem obter os parâmetros  e .

 

            Dois canais de perdas estão presentes. Um deles é aquele devido às perdas nos condutores que equivale a um resistor série de resistência , com  representando a resistência por unidade de comprimento.  Além disso, há uma perda no meio de preenchimento, que corresponderia a um vazamento de corrente devido às perdas dielétricas e magnéticas. Isso equivale a um resistor conectado entre os condutores da linha de transmissão com condutância .  

 

            Para obter a resistência por unidade de comprimento , note que

 

                                                             .                                                 (9.117)



Fig.9.10 – Circuito equivalente de um trecho longitudinal diferencial de uma linha de transmissão.

 

 


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Por outro lado,  de (9.58), tem-se

 

                                                                  .

 

Inserindo essa última expressão em (9.117), fornece

 

                                                              .                                                  (9.118)

 

Utilizando (9.113) em (9.118) obtém-se

 

                                                                 .                                                     (9.119)

 

            Para obtenção da condutância, note que a potência dissipada em um volume do meio de preenchimento de comprimento  pode ser calculada de

 

                                                                                                  (9.120)

 

De (9.58), tem-se

 

                                                           ,

 

com

 

                                                                    ,                                                         (9.121)

 


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representando a admitância característica da linha de transmissão. Inserindo a penúltima expressão em (9.120) fornece

                                                                           

                                                           ,



e com base em (9.114) obtém-se

 

                                                                  .                                                      (9.122)

 

            As expressões (9.119) e (9.122) mostram a conexão entre os elementos de circuito representativos das perdas na linha de transmissão e as constantes de atenuação correspondentes.

9.3 Modelagem de linhas de transmissão por parâmetros distribuídos

 

9.3.1 Equações diferenciais para tensão e corrente na linha de transmissão

 

Das seções anteriores, foi mostrado que associadas aos campos elétrico e magnético em uma linha de transmissão, existem ondas de tensão e corrente que se propagam ao longo da linha. Além disso, foi mostrado que a linha de transmissão pode ser considerada como consistindo de elementos de circuito distribuídos ao longo da linha, conforme ilustrado na Fig. 9.11. Essa equivalência permite o emprego de teoria de circuitos na análise de linhas de transmissão.  As características da linha ficam estabelecidas totalmente em função de seus parâmetros distribuídos.

 

Seja a aplicação das leis de Kirchoff de tensão e corrente para a malha da linha de transmissão da Fig. 9.11, localizada entre os pontos de coordenada z e z + dz, que fornece

 

 

                                    ,                        (9.123)

 

                            .                (9.124)

 

Equivalentemente,

 

                                                            ,                                                (9.125)

 

 

Fig. 9.11   Representação de uma linha de transmissão por parâmetros distribuídos.

 

 

 


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                                                           .                                               (9.126)

 

            As equações (9.125) e (9.126) são equações acopladas, e  podem ser combinadas para obtenção de uma equação diferencial em uma das variáveis. Para isso, derivando (9.125) em relação a z fornece

 

                                                       ,             


                                        

e utilizando (9.126) obtém-se

 

                                       ,                           (9.127)

 

com

 

                                                                  .                                                      (9.128)

 

            Derivando (9.125) em relação a z e utilizando procedimento semelhante fornece uma equação diferencial de segunda ordem para a corrente i, ou seja

 

                                                                           (9.129)



 

            Nota-se que (9.127) e (9.129) têm a mesma forma geral da equação da onda, com uma diferença devida a existência no segundo membro de termos lineares na variável e em sua derivada temporal. Observe que esses termos estão presentes devido à inclusão das perdas condutoras e dielétricas, incluídas na análise. É de se esperar, portanto, que no regime de pequenas perdas, a solução dessas equações corresponda a uma onda viajante de tensão ou corrente, em consonância com o que foi discutido nas seções anteriores.   

 

 

9.3.2 Solução no regime harmônico

 

            Admitindo o regime harmônico senoidal em que

 

                                                                                                    (9.130)

e

                                                         ,



as equações (9.125) e (9.126) assumem as formas

 

                                                          ,                                              (9.131)

 

                                                          .                                              (9.132)

 

            Derivando (9.131) em relação a z e utilizando (9.132) fornece

 

                                                               ,                                                   (9.133)

com

 

                                                    ,                                        (9.134)

 

representando a constante de propagação complexa associada à onda harmônica. Repetindo o procedimento, com a aplicação da derivação em z em (9.132) e com emprego de (9.131) fornece uma equação semelhante para I, ou seja,

                                                                .                                                    (9.135)

 

            A solução de (9.133) é uma combinação de exponenciais da forma

 

                                                            .                                                (9.136)

 

            A constante de propagação complexa pode ser escrita na forma

 

                                                                  ,                                                       (9.137)

 

com  representando a constante de atenuação e ,  a constante de fase, ambas positivas.  Com essa decomposição do parâmetro , (9.137) assume a forma

 

                                                 .                                     (9.138)

 

 


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            O primeiro termo de (9.138) representa uma onda viajante no sentido +z que decai exponencialmente com atenuação caracterizada pelo parâmetro  e oscilação determinada pela constante de fase .  O segundo termo representa uma onda viajante se propagando no sentido oposto com decaimento nesse sentido tendo a mesma constante de atenuação e oscilação caracterizada pela mesma constante de fase.

 

            A solução para a corrente I tem a mesma forma geral de (9.136), mas sua conexão com a onda de tensão (9.138) pode ser obtida diretamente de (9.131), o que fornece

 

                                                   ,



que em vista de (9.134) reduz-se a

 

                                                        .                                            (9.139)

com

                                                             ,                                                 (9.140)

 

representando a impedância característica da linha de transmissão com perdas.

 

            A expressão (9.140) mostra que a impedância característica de uma linha de transmissão com perdas é uma grandeza complexa. Além disso, a solução completa para as ondas de tensão e corrente, contendo ondas viajando em sentidos opostos, irá ocorrer se a linha de transmissão for terminada em uma carga que reflita parte da onda incidente, da mesma forma que uma onda eletromagnética sofre reflexão parcial ao incidir em uma interface entre meios materiais distintos. 

 

            Finalmente, como já discutido em várias pontos de seções anteriores, a velocidade de fase é diretamente obtida a partir da razão entre freqüência angular e constante de fase, i.e.,

                                                                      ,                                                          (9.141)



com obtida da parte imaginária (positiva) de (9.134).

 

9.4 Análise de linhas de transmissão sem perdas no regime harmônico

 

            A análise de linhas de transmissão no regime sem perdas fornece as características e propriedades básicas dessas estruturas, conforme descrito a seguir.

 

9.4.1 Soluções para V e I

 

Para LT sem perdas a constante, tem-se  e , e (9.134) fornece

 

                                                     ,


 


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e de (9.137) a constante de fase se torna

 

                                                             .                                                 (9.142)

 

            De (9.140), a impedância característica fica puramente real e dada por

 

                                                                   .                                                       (9.143)

 

            Note que os resultados (9.142) e (9.143) são aqueles previstos pela análise de campos em linhas de transmissão tratada em seções anteriores.  No regime sem perdas, e com base em (9.142) as ondas de tensão e corrente ao longo da linha assumem as formas

 

                                                                                                          (9.144)

 

                                                       .                                           (9.145)

 

9.4.2 Linha de transmissão terminada em uma carga

 

A. Coeficiente de reflexão

            Na hipótese de a linha de transmissão ser infinitamente extensa ou altenativamente, ser terminada por uma carga que não produz reflexão de onda, admitindo que a propagação ocorra no sentido +z, as ondas de tensão e corrente se tornam

 

                                                                                                                        (9.146)

                                                                                                                        (9.147)


 


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            Se, por outro lado, a linha é terminada por uma carga arbitrária, um certo grau de reflexão de onda pode ocorrer e (9.144) e (9.145) devem ser utilizadas para as ondas de tensão em corrente. Para analisar essa questão assume-se que a carga esteja localizada em z = 0, e que o ponto onde se mede a tensão e corrente na linha esteja a uma distancia l da carga, tendo portanto coordenada , conforme ilustrado na Fig.9.12. De (9.144) e (9.145), em z = 0, a tensão e corrente na carga são, respectivamente,

 

                                                ,                                    (9.148)

                                                          ,                                              (9.149)



em que o subscrito L nessas expressões é a inicial da palavra carga (do inglês load ).

 

            Definindo o coeficiente de reflexão na carga na forma

 

                                                                    ,                                                        (9.150)

 

as expressões (9.148) e (9.149) podem ser re-escritas nas formas

           

                                                              ,                                                  (9.151)

                                                              .                                                  (9.152)



            Uma vez que sobre a carga tem-se

                                                                    ,                                                        (9.153)



pode-se determinar o coeficiente de reflexão, inserindo (9.151) e (9.152) em (9.153), o que fornece

 

                                                               .                                                    (9.154)

 

 

 

Fig.9.12 - Representação de uma linha de transmissão terminada por uma carga.

 

 


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            Note que (9.154) tem a mesma forma da expressão obtida para o coeficiente de reflexão de uma onda plana com incidência normal sobre uma interface, conforme descrito no Capítulo 8, com as impedâncias de onda naquela formulação, substituídas pelas impedâncias convencionais da teoria de circuitos.

 

B. Impedância de entrada

 

            A impedância de entrada Zin é calculada da razão entre tensão e corrente em .  Utilizando (9.144) e (9.145), essa razão é

 

                                                      ,                                           (9.155)

 

que após algumas manipulações algébricas reduz-se a

 

 

                                                      .                                          (9.156)

 

            Alternativamente, a  de entrada pode ser calculada invertendo essa expressão, o que fornece

 

                                                         ,                                             (9.157)

em que

 

                                                                                                                              (9.158)

é a admitância característica da linha e

 

                                                                                                                             (9.159)


 


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é a admitância da carga.

 

            Alternativamente a formulação pode ser feita relacionando diretamente a impedância (admitância) de entrada com o coeficiente de reflexão de entrada, definido como a razão entre ondas refletida e incidente em , i.e.,

                                                                           

                                                                 .                                                     (9.160)



Utilizando (9.150), essa expressão pode ser posta na forma

 

                                                                ,                                                    (9.161)

 

que mostra que o coeficiente de reflexão de entrada tem o dobro da freqüência angular espacial das ondas de tensão e corrente. Em termos do coeficiente de reflexão de entrada dado por (9.161), a impedância de entrada expressa por (9.155) pode ser posta na forma

 

                                                                .                                                    (9.162)

 

Essa expressão pode ser re-escrita de forma a explicitar a dependência do coeficiente de reflexão em termos da impedância de entrada na forma

                                                                ,                                                     (9.163)



que tem estrutura idêntica a (9.154). Em termos das admitâncias, tem-se

                                                                .                                                    (9.164)

 

 

9.4.3 Características da função impedância e do coeficiente de reflexão

 

A. Impedância e admitância normalizadas

 

            Algumas propriedades e características da função impedância, do coeficiente de reflexão e das formas de onda de tensão e corrente são exploradas nesta seção. Essas características ficam melhor elucidadas com a normalização da função impedância. Para o caso da função impedância, define-se a impedância de entrada normalizada por

                                                                           

                                                                    ,                                                        (9.165)

 

e com isso as expressões (9.156), (9.163) e (9.162) fornecem, respectivamente,

                                                                           

                                                           ,                                               (9.166)

 

                                                                                                                            (9.167)

e

 

                                                                   ,                                                       (9.168)

com

                                                                    ,                                                        (9.169)


 


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            Para o caso da admitância normalizada, obtida invertendo (9.166) as expressões resultantes são

 

                                                           .                                                (9.170)



B. Coeficiente de reflexão

 

            O coeficiente de reflexão na carga é um parâmetro complexo bem definido e pode ser escrito na forma

 

                                                               ,                                                   (9.171)

 

em que

                                                                                                                          (9.172)



é o módulo e é a fase. É importante observar que esses parâmetros dependem exclusivamente dos valores da impedância de carga e impedância característica e sendo assim, tem valores fixos em uma dada freqüência. De (9.171) e (9.172), o coeficiente de reflexão tem uma variação ao longo da linha de transmissão dada por 

 

 

                                                            .                                                (9.173)

 

            Ou seja, o módulo do coeficiente de reflexão é constante ao longo da linha e sua fase varia linearmente com a distância à carga. Isso implica que pode ser representado por uma circunferência no plano complexo, como discutido mais detalhadamente na Seção 9.5.

 

C. Tensão e corrente ao longo da linha

 

 

            É importante analisar de que forma a tensão e corrente variam ao longo da linha de transmissão, uma vez que essa variação pode ser medida em laboratório, permitindo assim caracterizar a carga alimentada pela linha de transmissão, um problema importante, por exemplo, em Engenharia de Microondas. De (9.144), com o emprego de (9.160) tem-se

 

                                                             .                                                 (9.174)

 

O módulo quadrado dessa expressão pode ser calculado de

 

                                                      ,

 

ou equivalentemente, com o emprego de (9.173),

 

                                         .                             (9.175)

 

            Desenvolvimento semelhante para a forma de onda da corrente, obtida a partir de (9.145) com auxílio de (9.160) fornece

 

                                        .                            (9.176)

 

Algumas características podem ser extraídas de (9.175) e (9.176), conforme detalhado a seguir.

 

Pontos de máximo e mínimo de tensão ou corrente

 

            Valores extremos das funções (9.175) e (9.176) são obtidos determinando os extremos da função trigonométrica nessas expressões. Assim, os máximos de tensão, que correspondem aos mínimos de corrente ocorrem nos pontos

 

                                                             ,                                                 (9.177)

 

com m = 0, 1, 2, .... Com , com  representando o comprimento de onda no meio de preenchimento da linha de transmissão, (9.177) pode ser posta na forma

 

                                                             .                                                 (9.178)

 

            De (9.178), a distância entre máximos ou entre mínimos é simplesmente

 

                                                                     .                                                         (9.179)

 

 


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Localização do primeiro máximo de tensão

 

            O primeiro máximo de tensão, ocorre para m =0 em (9.178), o que fornece

 

                                                                   .                                                       (9.180)

 

            É importante observar que há linhas de transmissão e guias de onda especiais, denominados de linhas fendidas, que permitem deslocar de forma controlada uma ponta de prova ao longo da linha e assim medir as localizações dos máximos e mínimos de tensão. Assim, medindo-se a localização do primeiro máximo l0 de tensão permite obter a fase da carga de (9.180), i.e.,

                                                                  .                                                      (9.181)

 

Valores extremos de tensão, corrente e da impedância de entrada

            Os valores máximo e mínimo da tensão ao longo da linha são obtidos fazendo a função cosseno assumir os valores  em (9.175), o que fornece

 

                                                                                                            (9.182)


em que (não confundir com ) representa os dois valores extremos, com os sinais (+)  e (–) associados ao máximo e mínimo, respectivamente. De forma semelhante, em um ponto de máximo de tensão ocorre um mínimo de corrente e vice-versa. Os extremos de corrente são dados por

                                                      .                                          (9.183)


 


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            A Fig.9.13 mostra a variação de tensão e corrente com o comprimento ao longo da linha, admitindo uma carga fictícia tendo coeficiente de reflexão . Como pode ser aí observado a distancia entre máximos (ou entre mínimos) é  e os máximos de tensão ocorrem nos pontos de mínimos de corrente e vice-versa. Além disso, o primeiro máximo de tensão ocorre no ponto , conforme previsto por (9.180).

 

Fig.9.13 – Ondas estacionárias de tensão e corrente em uma linha de transmissão.

 

 

            É importante observar na análise de linhas de transmissão que mesmo que esta esteja terminada por uma carga puramente resistiva, a impedância de entrada em um ponto arbitrário da linha de transmissão é uma grandeza complexa, conforme se pode concluir de (9.156).  Correspondentemente, a reatância de entrada varia de um valor nulo, em cima da carga, para valores não nulos, tanto positivos (reatância indutiva) quanto negativos (reatância capacitiva). Além disso, de forma periódica, a impedância de entrada volta a ser puramente resistiva.  Esses pontos, ocorrem na realidade nos pontos de máximo e mínimo da tensão na linha. Para verificar isso, considere por exemplo o cálculo da impedância de entrada em um ponto de máximo, i.e., para satisfazendo (9.178).  Nesse ponto, tem-se

 

                                                         

e de (9.182) e (9.183) tem-se

 

                                                              ,                                                  (9.184)



em que o subscrito (+) no primeiro membro dessa expressão indica o módulo máximo.  Por outro lado, de (9.162), tem-se no ponto de máxima tensão

 

                                                            ,


em que e dado que nesse ponto , essa última expressão combinada com (9.184) fornece

 

                                                            .                                                (9.185)


 


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            Ou seja, no ponto de tensão máxima (e corrente mínima) o módulo da impedância é máximo e a impedância de entrada é puramente resistiva. Raciocínio semelhante aplicado ao cálculo da impedância de entrada nos pontos de mínimo de tensão fornece

 

                                                      ,                                           (9.186)



e aí também a impedância de entrada é puramente resistiva.  É importante observar que os valores resistivos previstos por (9.185) e (9.186) satisfazem à relação

 

                                                                                                          (9.187)

 

ou equivalentemente em termos de valores normalizados

 

                                                            .                                                (9.188)



            É fácil verificar que se a carga for puramente resistiva, a impedância máxima é de fato o valor da impedância da carga. 

 

            A Fig.9.14 ilustra a dependência da impedância de entrada com o comprimento relativo ao longo da linha, em que são mostrados o módulo da impedância e as partes real e imaginária, para uma impedância normalizada de carga . Como pode ser aí observado, além da periodicidade da função impedância,  nota-se o valor normalizado máxima de  e a mínimo de .      


                                      

Fig. 9.14 Módulo da impedância de entrada, resistência e reatância de entrada ao longo de uma linha de transmissão.

 

 

 


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Razão de onda estacionária (SWR)

 

            Um parâmetro de importância prática que é medido diretamente em laboratório com o emprego de linhas fendidas, estas brevemente descritas anteriormente, denominado de razão de onda estacionária (SWR) — derivado do termo inglês standing wave ratio — é diretamente relacionado à impedância máxima normalizada, permitindo assim extrair o módulo do coeficiente de reflexão. Esse parâmetro é definido pela relação

 

                                                                                                                        (9.189)

e de (9.182), pode ser posto na forma

 

                                                          ,                                               (9.190)

 

tendo como valor, portanto, a máxima impedância normalizada. Nota-se de (9.190), que o SWR é uma medida direta do coeficiente do módulo do coeficiente de reflexão, i.e.,

 

                                                                .                                                    (9.191)

 

            Na próxima seção, todas essas propriedades da função impedância são exploradas graficamente no plano complexo  com o emprego da carta de Smith.

 

 

 

 

 

9.5 Transformação e casamento de impedâncias com a carta de Smith

 

9.5.1 A carta de Smith

 

            Smith em 1939[1] propôs uma forma simples de analisar as propriedades de transformação de impedâncias de linhas de transmissão, com o emprego de uma carta gráfica, considerando essas propriedades no plano complexo . O argumento básico considerado por Smith era que sendo constante o módulo do coeficiente de reflexão para uma dada linha de transmissão, todos os possíveis valores de impedância da linha teriam de corresponder a coeficientes de reflexão sobre uma circunferência.  Além disso, para uma linha sem perdas, qualquer valor da função impedância estará localizado na região  nesse plano complexo, o que não seria o caso se fosse escolhido o plano complexo  para a análise gráfica de linhas de transmissão. A carta de Smith ainda hoje é muito utilizada em Telecomunicações, e equipamentos utilizados no setor, como os analisadores de redes, por exemplo, têm a carta desenhada diretamente na tela, facilitando a análise do comportamento espectral de dispositivos pelo exame direto do traço luminoso nesse mostrador. Uma foto de um desses equipamentos está mostrada na Fig. 9.15.

           

 

Fig.9.15 - Aspecto de um analisador de rede, mostrando

           

            Para derivar as propriedades da carta de Smith, seja a decomposição do coeficiente de reflexão na forma

 

                                                                  ,                                                      (9.192)

 

e da impedância de entrada normalizada, na forma

 

                                                                 .                                                      (9.193)

 

            De (9.168) tem-se

           

                                                          .                                              (9.194)



 


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            Após algumas manipulações algébricas, obtém-se

 

                                                             ,                                                 (9.195)

                                                             .                                                 (9.196)



 

            As expressões (9.185) ou (9.186) são relações entre u e v, que dependem apenas de uma das componentes da impedância normalizada de entrada e o objetivo nessa formulação é determinar no plano  os lugares geométricos dos pontos (u,v) em que  e , com k1 e k2 representando constantes arbitrárias. Para (9.195), após algumas manipulações algébricas, obtém-se

 

                                                    ,

 

que pode ser colocada na forma mais geral da equação da circunferência

 

                                                       ,                                           (9.197)

 

com centro no ponto

                                                           ,                                               (9.198)

e raio

 

                                                                   .                                                       (9.199)

 


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            A Fig.(9.16) mostra algumas das curvas obtidas para valores fisicamente realizáveis da resistência normalizada , na região . Como pode ser aí observado, e com base em (9.198) todas as curvas têm centro no eixo horizontal. De (9.197) – (9.199) tem-se as seguintes propriedades dessa família de curvas:

 

·             representa o círculo .

·             e , e portanto todas as circunferências tangenciam o ponto .

·            Para ,  e a circunferência reduz-se ao ponto .

 

Fig. 9.16 – Curvas de resistência normalizada constante no plano uv.

 

            Considerando agora (9.196), após algumas manipulações algébricas obtém-se a equação da circunferência

 

                                                        ,                                            (9.200)

 

com

 

                                                              ,                                                  (9.201)

 

                                                                      .                                                          (9.202)

 

            A Fig.9.17 mostra algumas das curvas obtidas para valores fisicamente realizáveis da reatância normalizada , na região . Como pode ser aí observado, e com base em (9.201) todas as curvas têm centro sobre a reta . Reatâncias positivas estão localizadas na região , e negativas, na região . De (9.200) – (9.202) tem-se as seguintes propriedades dessa família de curvas:

 

·            Como , todas as circunferências tangenciam o eixo .

·            De (9.201) para , tem-se , que corresponde à região de reatâncias indutivas. Alternativamente a região de reatâncias capacitivas, i.e., , está situada na região .

·            Para  tem-se  e , que corresponde ao eixo

·            Para ,  e  e a curva reduz-se ao ponto (1,0) no plano complexo .        

 

Fig. 9.17 – Curvas de reatância normalizada constante no plano uv.

 

            A Fig.9.18 mostra uma carta de Smith típica, mostrando as famílias de curvas de resistência e de reatância constantes. Essas cartas estão amplamente disponíveis na internet e podem ser obtidas livremente[2]. Com o emprego de régua, compasso e transferidor é possível determinar rapidamente valores de impedância, módulo e fase do coeficiente de reflexão, SWR entre outras aplicações, como por exemplo, o casamento de impedâncias. A escala graduada na borda da carta tem valores de ângulo de fase ou comprimento ao longo da linha relativamente ao comprimento de onda. Várias propriedades são exploradas nos exemplos a seguir, com o emprego do aplicativo web SmartSmith, descrito a seguir.

 

 

 

 

smithchart.pdf

9.18 – A  carta de Smith.

 

 


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9.5.2 O aplicativo SmartSmith

 

Os exemplos discutidos neste capítulo são desenvolvidos com emprego do aplicativo SmartSmith[3], disponível livremente na internet. As instruções de uso do aplicativo podem ser obtidas diretamente no link do rodapé desta página.  O aplicativo foi desenvolvido na plataforma Mathematica e roda em qualquer browser com emprego do aplicativo gratuito CDF Player da Wolfram. Os parâmetros de linhas de transmissão como resistência, reatância, coeficiente de reflexão, fase e posicionamento ao longo da linha são acionados por meio de sliders mostrados na Fig.9.19.  A seguir alguns comentários a respeito da interface gráfica do aplicativo:

·            Resistência/condutância normalizada: o ajuste desse botão mostra as curvas de resistência/condutância normalizada constante, em vermelho, na carta de Smith. A janela abaixo do slider exibe o valor atual do parâmetro. Valores podem também ser inseridos diretamente nessa janela.

·            Reatância/susceptância normalizada: o ajuste desse botão mostra as curvas de reatância/susceptância normalizada constante, em azul, na carta de Smith. A janela abaixo do slider exibe o valor atual do parâmetro. Valores podem também ser inseridos diretamente nessa janela.

·            Módulo do coeficiente de reflexão: o ajuste desse botão exibe a circunferência com centro na origem correspondente ao valor do módulo do coeficiente de reflexão. A janela abaixo do slider exibe o valor atual e valores podem também ser inseridos diretamente na janela.

·            Distância relativa à carga: o ajuste desse botão, para um dado coeficiente de reflexão não nulo, mostra uma linha radial que gira no plano complexo. O valor mais à direita l=0 é o ponto sobre a carga. Valores também podem ser inseridos diretamente na janela de exibição.

·            Ângulo de fase: o ajuste desse botão varia o valor da fase (em graus) do coeficiente de reflexão no plano complexo. Isso é observado pelo movimento de uma segunda linha radial na carta de Smith. Valores também podem ser inseridos diretamente na janela.

·            Posição relativa do circulo deslocado: o ajuste desse botão permite posicionar o círculo auxiliar utilizado em casamento de linhas de transmissão com estube duplo.

 

Apesar de o aplicativo facilitar bastante o cálculo de linhas de transmissão e permitir que o estudante aprimore seus conhecimentos acerca das propriedades da carta de Smith, é importante que se tenha também habilidade de uso da carta tradicional, o que requer uso de régua, compasso e transferidor. Na próxima seção, assume-se que o estudante tenha acesso ao aplicativo, ou como alternativa que disponha da carta de Smith tradicional para a prática dos exercícios.

 

Fig.9.19 – Interface gráfica do aplicativo SmartSmith.



9.5.3 Exemplos com o emprego do aplicativo SmartSmith

                       

            Uma característica importante do aplicativo SmartSmith é que os parâmetros são todos independentes, e precisam ser manuseados para se obter resultados, conforme demonstrado nos exemplos a seguir.

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Exemplo 9.3: Obtenção do coeficiente de reflexão a partir da impedância normalizada  

           

Considere por exemplo o caso de se ter o valor da impedância normalizada para obtenção do módulo e fase do coeficiente de reflexão. Seja por exemplo . Para obter o coeficiente de reflexão:

 

·            Ajusta-se , tem-se a curva A mostrada na Fig.9.20

·            Ajusta-se , tem-se a curva B mostrada nessa figura. As curvas A e B se interceptam no ponto C.

·            Ajusta-se o módulo do coeficiente de reflexão até que a circunferência correspondente D intercepte o ponto C, conforme indicado na Fig.9.20

·            Ajusta-se a fase até que a linha radial E intercepte o ponto C.

 

Conforme mostrado na Fig.9.20, obtém-se .

 

 

Fig9.20.jpg

Fig.9.20 – Ilustração para o Exemplo 9.3.

 

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Exemplo 9.4: Obtenção da impedância normalizada a partir do coeficiente de reflexão

 

Seja por exemplo . Para obter a impedância normalizada:

 

·            Ajusta-se , tem-se a circunferência A mostrada na Fig.9.21

·            Ajusta-se , tem-se a reta B mostrada nessa figura. A circunferência A e a reta B se interceptam no ponto C.

·            Ajusta-se o valor de  até que a curva correspondente D intercepte o ponto C. Nesse ponto tem-se .

·            Ajusta-se o valor de  até que a curva correspondente E intercepte o ponto C. Nesse ponto tem-se

 

Fig9.21.jpg

Fig.9.21 – Ilustração para o Exemplo 9.4.

 

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Exemplo 9.5: Obtenção dos valores máximo e mínimo da impedância normalizada

 

            Seja por exemplo, . Para obter os valores extremos da impedância da linha de transmissão:

·            Ajusta-se , tem-se a circunferência A mostrada na Fig.9.22

·            Ajusta-se o valor de  até que a curva correspondente B intercepte o ponto C. Nesse ponto tem-se .

·            Conforme mostrado na Fig.9.23, ajusta-se o valor de  até que a curva correspondente D intercepte o ponto E. Nesse ponto tem-se .

 

Fig9.22.jpg

Fig.9.22 – Ilustração para o Exemplo 9.5 – determinação da impedância máxima.

 

 

Fig9.23.jpg

Fig.9.23 – Ilustração para o Exemplo 9.5 – determinação da impedância minima.

 

 


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Exemplo 9.6: Transformação de impedâncias

 

            Neste exemplo, a carta de Smith é utilizada para a transformação de impedâncias. Seja por exemplo, , , e a determinação de . Para isso:

·            Obtém-se a impedância de carga normalizada, i.e., .

·            Ajusta-se , curva A e , curva B, na Fig.9.24a. Essas curvas interceptam no ponto C

·            Ajusta-se o módulo do coeficiente de reflexão até que a circunferência D intercepte o ponto C.

·            Ajusta-se até a linha radial E interceptar o ponto C. Nesse ponto lê-se o valor de referência .

·            O novo valor do comprimento relativo deve ser , correspondente à linha radial F que intercepta a circunferência D no ponto G.

·            Ajusta-se o valor de  (curva H) e  (curva I) até que elas interceptem o ponto G. Nesse ponto tem-se  . O valor absoluto da impedância de entrada é .

Fig9.24a.jpg

(a)

Fig9.24b.jpg

(b)

Fig.9.24 – Etapas (a) e (b) para solução do Exemplo 9.6.



Exemplo 9.7: Determinação da impedância de carga a partir do SWR e da localização do primeiro mínimo de tensão.

            Seja por exemplo SWR = 3, , e a localização do primeiro mínimo em . Para determinar a impedância de carga :

·            Ajusta-se  (curva A) e o módulo do coeficiente de reflexão (curva B) que interceptam no ponto C,  conforme ilustrado na Fig.9.25a.

·            O primeiro mínimo deve ser a segunda solução real para a impedância de entrada, que corresponde ao ponto D na figura. Nesse ponto lê-se o valor de referência do comprimento relativo .

·            Conforme mostrado na Figura 9.25b, como o ponto D é o primeiro mínimo e este está a  da carga, desloca-se ao longo da linha em direção à carga de um comprimento (sentido anti-horário na carta de Smith) até o ponto E.

·            Ajusta-se o valor de (curva F) e de(curva G) até que as curvas interceptem o ponto E. Nesse ponto, , e portanto a impedância de carga é .


Fig9.25a.jpg

(a)

Fig9.25b.jpg

(b)

Fig.9.25 – Etapas (a) e (b) para solução do Exemplo 9.7.

 

 

9.5.4  Propriedades adicionais da carta de Smith

 

            Algumas características adicionais são brevemente descritas nesta seção. Essas características incluem as localizações de tipos específicos de carga, que são a carga casada, a carga em curto e a carga em aberto na carta de Smith e o uso da carta na função admitância.

 

 

A. Carga casada

 

            A carga casada, representada na Fig.9.26, é a carga ideal que fornece

 

                                                                ,

 

e de (9.154) essa condição é obtida para

 

                                                              ,

 

ou equivalentemente

 

                                                                 ,

i.e.,

 

                                                                .                                                          (9.203)


 


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            Ou seja, a carga casada está localizada na origem do plano complexo , conforme ilustrado na Fig.9.26.  Utilizar artifícios para levar a impedância de entrada para esse ponto no diagrama de Smith é o objetivo principal em projetos de linhas de transmissão.

Fig9.26.jpg

Fig.9.26 – Localização da carga casada na carta de Smith.

 

 

B. Curto-circuito

 

            O curto circuito é obtido interconectando os condutores da linha de transmissão em sua terminação, conforme ilustrado na Fig.9.27. Para se determinar sua localização na carta de Smith, leva-se em conta o fato de a tensão no curto ser nula, com corrente não nula. Essa condição em (9.148) fornece

 

                                                             ,

 

ou equivalentemente

 

                                                         .                                                    (9.204)

 

            Portanto, um curto circuito na linha de transmissão está localizado na extremidade esquerda do eixo horizontal da carta de Smith, conforme ilustrado na Fig.9.27. Uma vez que o coeficiente de reflexão é constante na linha, para uma linha terminada em curto, , que corresponde à condição  na carta de Smith. Isso implica que a impedância de entrada em uma linha de transmissão terminada em curto é puramente reativa.

 

 

 

 

Fig9.27b.jpg

Fig.9.27 – Localização do curto-circuito na carta de Smith.

 

 


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C. Circuito aberto

 

            O circuito aberto é obtido simplesmente deixando em aberto a terminação da linha de transmissão, conforme ilustrado na Fig.9.28. Para se determinar sua localização na carta de Smith, leva-se em conta o fato de a corrente no curto ser nula, com tensao não nula. Essa condição em (9.149) fornece

 

                                                               ,

 

ou equivalentemente

 

                                                           .                                                     (9.205)

 

            Portanto, um circuito aberto na linha de transmissão está localizado na extremidade direita do eixo horizontal da carta de Smith, conforme ilustrado na Fig.9.28. Como no caso do curto circuito, uma vez que o coeficiente de reflexão é constante na linha, para uma linha terminada em aberto, , que também corresponde à condição  na carta de Smith. Isso implica que a impedância de entrada em uma linha de transmissão terminada em aberto é puramente reativa. Na realidade uma linha terminada em aberto se transforma em uma linha equivalente em curto a cada de variação de comprimento ao longo da linha.



 

 

 

Fig9.28b.jpg

Fig.9.28 – Localização do circuito aberto na carta de Smith.

 

D. Uso da carta de Smith como carta de admitâncias

 

            A carta de Smith pode ser utilizada tanto para transformação de impedâncias como para transformação de admitâncias. O tipo de transformação necessária pode ser obtido com base em (9.168), reproduzida abaixo

 

                                                                   .                                                       (9.168)

 

            Fazendo a transformação

                                                                   ,

 

e inserindo em (9.168) fornece

 

                                                                  .                                                      (9.206)

 


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            Ou seja, (9.206) mostra que para obtenção da admitância normalizada para um dado valor de impedância, basta fazer um rotação de , mantendo-se  constante no plano complexo, conforme ilustrado na Fig.9.29.  Ou seja, para se trabalhar na carta com admitâncias, dado um valor inicial de impedância, basta transformar o ponto da impedância na carta de Smith no ponto de admitância correspondente, e a partir daí considerar o diagrama como uma carta de admitâncias.  No diagrama de admitâncias as curvas de resistência constante são consideradas como curvas de condutância constante e as de reatância constante, como de susceptância constante. Vale ainda observar que:

 

·            O ponto de curto circuito no diagrama de admitâncias está localizado no ponto , .

·            O ponto de circuito aberto nesse diagrama está localizado no ponto ,


Fig9.29.jpg

9.29 – Transformação de impedância para admitância na carta de Smith.

 

 

 


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9.5.4 Casamento de impedâncias com estube simples

 

            Um problema importante quando uma linha de transmissão é empregada para transportar o sinal do gerador para a carga é minimizar o efeito de reflexões, evitando assim, que parte da potência eletromagnética incidente seja realimentada para o gerador, causando assim instabilidades. Além disso, evitando-se reflexões maximiza-se a transferência de potência para a carga. Em muitas situações, a impedância da carga difere da impedância característica da linha, causando reflexão de potência eletromagnética e não há alternativa senão prover meios de casar a carga à linha de transmissão. Isso pode ser feito com o emprego de transformadores de impedância, ou utilizando trechos de linha de transmissão em paralelo (ou em série) com a linha, denominados de estubes. Esses estubes são geralmente linhas de transmissão de mesma impedância característica da linha principal, mas terminadas em um curto-circuito, ou deixados em aberto, caso em que o estube exibe uma impedância puramente reativa. Nesta seção o emprego da carta de Smith é ilustrado no casamento de impedância com o emprego de um estube simples.

 

            Considere o problema de casamento de impedâncias com a adição de um estube em paralelo com a linha. O estube está terminado em um curto-circuito, conforme ilustrado na Fig.9.30. A análise fica mais simples, com o emprego da carta de Smith utilizando-se admitâncias, uma vez que a admitância equivalente de admitâncias em paralelo é simplesmente a soma destas. A distância d da posição de inserção do estube é aquela em que a admitância de entrada se torna real, i.e., com condutância, unitária, ou seja,

 

                                                                  ,                                                      (9.207)


em que  é a susceptância de entrada a uma distância d da carga, sem a adição do estube. O comprimento l do estube é calculado de forma que a admitância desse trecho de linha de transmissão, terminada em curto, seja dada por

 

 

 

Fig.9.30 – Configuração para casamento de uma carga a uma linha de transmissão com estube em curto-circuito.

 

                                                                   .                                                       (9.208)

 

            Calculados l e d satisfazendo a (9.207) e (9.208), obtém-se

 

                                                              ,                                                  (9.209)

 

que corresponde à condição de casamento.

 

            É importante observar que operação da carta de Smith com valores de admitância segue os mesmos princípios utilizados no caso de valores de impedância, bastando apenas, que o valor inicial da impedância de carga seja transformado no valor correspondente de admitância.

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Exemplo 9.8:  Determinar l e d para obter casamento de uma carga normalizada  com o emprego de um estube simples em curto de uma LT tendo mesma impedância característica da linha principal, conectado em paralelo com esta.

 

            As etapas para solução do problema estão delineadas a seguir.


·            Localização da carga na carta de Smith:  ( curva A) e (curva B)

·            Obtenção de  (curva C) que intercepta as curvas A e B no ponto D.

·            Determina-se a fase do coeficiente de reflexão (linha radial E). Nesse ponto, tem-se o valor de referência em graus

 

Fig9.27a.jpg

·            Determinação da admitância da carga: adiciona-se 180 graus à fase do coeficiente de reflexão, obtendo-se uma fase  (ponto F).

·            Determina-se a admitância no ponto F, ajustando-se os valores de (curva G) e (curva H). Tem-se nesse ponto: .

·            Nesse ponto o valor de referência é . É a partir desse valor que os comprimentos relativos à carga são medidos.

 

Fig9.27b.jpg




 

 

·            Desloca-se ao longo da linha, em direção ao gerador, até que ocorra interseção com a circunferência  (curva I). Há duas interseções, correspondentes aos pontos J e K. Admite-se a escolha da primeira solução (ponto J). O valor de  nesse ponto é . Obtém-se . Esta é a posição de colocação do estube em relação à carga.

 

Fig9.27c.jpg

·            Determina-se o valor da susceptância do ponto J (curva L), conforme ilustrado na figura. O valor obtido é .

·            O valor da susceptância do estube a ser adicionado para o casamento é .

Fig9.27d.jpg


·            Parte-se do ponto de curto-circuito na carta de admitâncias (ponto M) até encontrar a curva de susceptância  (curva N) no ponto O. O comprimento obtido é .