EE982 -ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 2 2013.01 PPGEE-UFPE

2.1 EXEMPLO: Cálculo do campo da esfera uniformemente carregada.

2.1.1 Cálculo pela expressão integral

Considera esfera de raio a, uniformemente carregada

·       Densidade de carga

·       Carga total Q

 

·       Define eixo z

·       Calcula campo por superposição nesse eixo

·       Generaliza para qualquer direção.

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Campo:

 

 

Parâmetros:

 

     

 

donde,

 

 

O versor radial é variável, i.e.,

 

 

Além disso

 

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Após integração na variável azimutal vem

 

Para integração em ':

 

 

 

 

 

 

donde,

 

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Resolvendo-se a integral na variável u, resulta em

 

 

O termo entre colchetes é da forma:

 

Caso 1: z > a ³ R’

Caso 2: z < a

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Para direção arbitrária        

 

 

 

Equivalentemente

 

 

 = carga total envolvida por uma esfera imaginária de raio R, i.e.,

 

 

 

 

 

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2.1.2 Cálculo pela lei de Gauss

Por simetria

 

 

 

Define superfície gaussiana na qual

 (superfície esférica)

Caso 1: ,

 

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Caso 2: :

 

 

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2.2 POTENCIAL ESCALAR

Divergente, Rotacional: Especificam um vetor

Obtém o rotacional do vetor , da expressão geral:

Usando,    ,   com  ,  , vem:

 

      O campo eletrostático é                 

                                                Conservativo

 

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 Potencial eletrostático

 , 

Significado de : Trabalho realizado por agente externo para deslocar uma carga ( movimento quase-estático), em uma região de campo.

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Percurso fechado (este resultado segue também da condição, )

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2.3 ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA E DENSIDADE DE ENERGIA

Wi = Energia para por qi  próxima ao conjunto de  N-1 cargas

 

Energia total para formar o conjunto de N cargas:

Para cargas distribuídas:

(Obtém expressão para energia sob o ponto de vista das fontes do campo)

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Alternativamente, a energia pode ser expressa sob o ponto de vista do campo, como mostrado a seguir. Usando a Eq. de Poisson, i.e., , vem:

Usando a 1a Identidade de Green, tomando-se o volume limitado por uma superfície no infinito, tem-se que, o campo de distribuições localizadas, fornece

resultando,

 

donde, 

 , é a densidade de energia que pode ser visualizada como sendo distribuída em todo o espaço. 

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2.1.3 Condições de Contorno

 

 

Utiliza lei de Gauss

 

 

No limite em que Dh 0

 

Dado que

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Obtém

 

 

Dado que

 

Integra em volume V

 

Usa relação integral

 

No limite

Ou equivalentemente

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