EE982
-ELETROMAGNETISMO AVANÇADO
AULA 4 2013.01 PPGEE-UFPE
Considera problemas governados pela Eq. de Laplace
Para problemas bi-dimensionais, em cartesianas, conforme ilustrado na figura
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1999-2013 by Eduardo Fontana
A discretização da derivada de uma função pode ser posta na forma
e portanto
com w representando
um pequeno
incremento na variável x.
Considerando w e h pequenos incrementos nas variáveis x e y, tem-se
Escolhento w=h=d, resulta em
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Conclusão: Delimitando-se a região de interesse por uma grade bi-dimensional, o potential em cada ponto da grade é a média dos potenciais nos pontos mais próximos da grade, conforme ilustrado na figura.
Implementação do
procedimento
·
Divide-se
inicialmente a região em uma grade de elementos quadrados M´N, conforme mostrado na figura
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·
Se a e b
representam a largura e a altura da região bi-dimensional,
tem-se
·
Define-se uma matriz de F de (M+1)´(N+1)
elementos, com o elemento de matriz Fij representando o valor do potencial no ponto (i,j) da grade.
·
A matriz F é inicializada com a
condição
· Um procedimento iterativo é
estabelecido para
o cálculo da média dos primeiros vizinhos de cada elemento da
matriz, na forma
·
Após cada
iteração os valores de potencial atual e anterior são
comparados.
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·
Se a maior
diferença observada for inferior a um erro pré-estabelecido, o
processo de
iteração é encerrado
O método envolve a solução de problemas em eletrostática envolvendo cargas e superfícies de fronteira onde os respectivos valores de potencial são especificados. O método permite a obtenção da função de Green para a geometria considerada.
Como exemplo de solução de problemas envolvendo cargas e superfícies condutoras, considera o caso simples de uma carga puntiforme q envolta por uma casca condutora em três situações
Caso 1: Esfera aterrada
Caso 2: Esfera submetida a potencial V
Caso 3: Esfera carregada com carga Q
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As soluções gerais para o potencial nas regiões R < a e R > a são
R<a
R>a
com a constante C sendo nula para potencial nulo no infinito.
Caso 1: Esfera aterrada
Nesse caso a solução no exterior é a solução trivial, i.e., .
Para a solução interior tem-se:
Uma segunda equação é obtida, aplicando-se a lei de Gauss para uma superfície esférica de raio R<a. O vetor densidade de fluxo elétrio é dado por
e da lei de Gauss
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e portanto
e a solução na região interior é dada por
A distribuição de carga superficial induzida na superfície interna da casca codutora é obtida de
e a carga total induzida é
Na parte externa da casca, a carga induzida é nula, uma vez que o potencial é nulo no esterior. Assim, a casca blinda o exterior da carga interna.
Caso 2: Esfera submetida a potencial V
No exterior a solução é simplesmente
Dessa solução obtém-se:
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A densidade superficial de carga induzida na superfície externa é simplesmente
e a carga induzida na superfície externa é
Na região interna
e a densidade superficial de carga induzida e carga total induzida na superfície interna permanece inalterada. Ou seja, não há interação entre as cargas interna e externa da casca condutora.
Caso 3: Se a carga total da casca é Q, o potencial no exterior é dado por
em consonância com a lei de Gauss para uma superfície gaussiana no exterior, limitando a casca esférica. O potencila da casca é portanto
e a solução no interior é dada por
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e a carga induzida na superfície interna permanece inalterada. Ou seja, novamente, não há interação entre as cargas induzidas nas superfícies interna e externa da casca.
Método consiste em determinar valores e coordenadas de cargas imagem, no exterior da região de interesse, tal que as condições impostas para o potencial nessas fronteiras sejam satisfeitas. Considera por exemplo o problema de determinação da função potencial na região acima do condutor aterrado da figura, em que existe uma carga q a uma distância d do plano.
A técnica consiste em determinar a carga imagem q’ e
distância d’,
abaixo do plano, tal que a condição de potencial aterrado em z=0
seja
satisfeita. Se isso for possível, o teorema da unicidade garante
que a solução
obtida da soma dos potenciais da carga original e de sua imagem,
é única.
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Para satisfazer a condição de contorno em z=0 impõe-se
Essa equação só pode ser satisfeita se . Após alguma álgebra obtém
Essa era a solução esperada intuitivamente!
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A função potencial na região z ³ 0 é da forma
Uma questão importante é a determinação da densidade de carga induzida na superfície condutora. Essa é obtida da componente normal do vetor densidade de fluxo elétrico, ou seja,
Da expressão para o potencial, obtém-se
A carga total induzida no plano é simplesmente
um resultado independente da distância d. A figura seguinte ilustra a forma como a distribuição de carga é afetada pela distância da carga ao plano.
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É importante observar, que a força de interação carga-plano pode ser obtida diretamente da força entra a carga e a carga imagem. Assim, há uma força atrativa ente carga e plano cuja magnitude é simplesmente
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