EE982 -ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 4 2013.01 PPGEE-UFPE

4.1 SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DE LAPLACE

 

Considera problemas governados pela Eq. de Laplace

 

                                          

 

Para problemas bi-dimensionais, em cartesianas, conforme ilustrado na figura

 

                                    

 

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

A discretização da derivada de uma função pode ser posta na forma

                        

e portanto

                    
com w representando um pequeno incremento na variável x.

 

Considerando w e h pequenos incrementos nas variáveis x e y, tem-se

 

                

 

Escolhento w=h=d, resulta em

 

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Conclusão: Delimitando-se a região de interesse por uma grade bi-dimensional, o potential em cada ponto da grade é a média dos potenciais nos pontos mais próximos da grade, conforme ilustrado na figura.

            

Implementação do procedimento

·       Divide-se inicialmente a região em uma grade de elementos quadrados M´N, conforme mostrado na figura

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·       Se a e b representam a largura e a altura da região bi-dimensional, tem-se

 

                                   

 


·         Define-se uma matriz de F de (M+1)´(N+1) elementos, com o elemento de matriz Fij representando o  valor do potencial no ponto (i,j) da grade.

·       A matriz F é inicializada com a condição

 

 

·  Um procedimento iterativo é estabelecido para o cálculo da média dos primeiros vizinhos de cada elemento da matriz, na forma

·       Após cada iteração os valores de potencial atual e anterior são comparados.

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·       Se a maior diferença observada for inferior a um erro pré-estabelecido, o processo de iteração é encerrado

4.2 MÉTODO DAS IMAGENS

4.2.1 Carga puntiforme limitada por casca esférica

O método envolve a solução de problemas em eletrostática envolvendo cargas e superfícies de fronteira onde os respectivos valores de potencial são especificados. O método permite a obtenção da função de Green para a geometria considerada.

Como exemplo de solução de problemas envolvendo cargas e superfícies condutoras, considera o caso simples de uma carga puntiforme q envolta por uma casca condutora em três situações

Caso 1: Esfera aterrada

Caso 2: Esfera submetida a potencial V

Caso 3: Esfera carregada com carga Q

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As soluções gerais para o potencial nas regiões R < a e R > a  são

R<a

R>a

 

com a constante C sendo nula para potencial nulo no infinito.

Caso 1: Esfera aterrada

 

Nesse caso a solução no exterior é a solução trivial, i.e., .

Para a solução interior tem-se:

 

                                       

Uma segunda equação é obtida, aplicando-se a lei de Gauss para uma superfície esférica de raio R<a. O vetor densidade de fluxo elétrio é dado por

                                       

e da lei de Gauss

 

                           *  

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e portanto

                                  

 

e a solução na região interior é dada por

 

 

A distribuição de carga superficial induzida na superfície interna da casca codutora é obtida de

e a carga total induzida é

Na parte externa da casca, a carga induzida é nula, uma vez que o potencial é nulo no esterior. Assim, a casca blinda o exterior da carga interna.

 

Caso 2: Esfera submetida a potencial V

No exterior a solução é simplesmente

                                          

                                           

Dessa solução obtém-se:

                                            

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A densidade superficial de carga induzida na superfície externa é simplesmente

                                       

e a carga induzida na superfície externa é

                                    

Na região interna             

 

                           

e a densidade superficial de carga induzida e carga total induzida na superfície interna permanece inalterada. Ou seja, não há interação entre as cargas interna e externa da casca condutora.

Caso 3: Se a carga total da casca é Q, o potencial no exterior é dado por

                                       

em consonância com a lei de Gauss para uma superfície gaussiana no exterior, limitando a casca esférica.  O potencila da casca é portanto

 

e a solução no interior é dada por

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e a carga induzida na superfície interna permanece inalterada. Ou seja, novamente, não há interação entre as cargas induzidas nas superfícies interna e externa da casca.

 

4.2.2 Princípio da Técnica

 

Método consiste em determinar valores e coordenadas de cargas imagem,  no exterior da região de interesse, tal que as condições impostas para o potencial nessas fronteiras sejam satisfeitas. Considera por exemplo o problema de determinação da função potencial na região acima do condutor aterrado da figura, em que existe uma carga q a uma distância d do plano.


A técnica consiste em determinar a carga imagem q’ e distância d’, abaixo do plano, tal que a condição de potencial aterrado em z=0 seja satisfeita. Se isso for possível, o teorema da unicidade garante que a solução obtida da soma dos potenciais da carga original e de sua imagem, é única.

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Para a geometria da figura

Para satisfazer a condição de contorno em z=0 impõe-se

Essa equação só pode ser satisfeita se . Após alguma álgebra obtém

donde

 

Essa era a solução esperada intuitivamente!

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A função potencial na região z ³ 0 é da forma

 

       

Uma questão importante é a determinação da densidade de carga induzida na superfície condutora.  Essa é obtida da componente normal do vetor densidade de fluxo elétrico, ou seja,

 

                      

 

Da expressão para o potencial, obtém-se

 

                      

A carga total induzida no plano é simplesmente

 

um resultado independente da distância d. A figura seguinte ilustra a forma como a distribuição de carga é afetada pela distância da carga ao plano.

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É importante observar, que a força de interação carga-plano pode ser obtida diretamente da força entra a carga e a carga imagem. Assim, há uma força atrativa ente carga e plano cuja magnitude é simplesmente

 

 

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