EE982
-ELETROMAGNETISMO AVANÇADO
AULA 5 - 2013.01
PPGEE-UFPE
A função de Green pode ser obtida da solução do PVF de uma carga puntiforme na região , conforme ilustrado na figura
a função de Green para o PVF de Dirichlet acima do plano, satisfaz à condição de contorno mostrada na figura, e portanto
Copyrigth
1999-2013 by Eduardo Fontana
Para o PVF de Dirichlet é necessário obter a derivada normal na superfície z=0, em relação à coordenada para fora da região . Utilizando a solução formal para o PVF de Dirichlet,
Assim, dada a solução formal para o PVF de Dirichlet,
a solução para o potencial na região é
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1999-2013 by Eduardo Fontana
Considere, por exemplo, o PVF satisfazendo à condição de contorno . A solução é portanto
Conforme ilustrado na figura, essa solução representa a soma do potencial da distribuição de carga, e de sua distribuição imagem, formada como a própria imagem especular do volume de carga acima do plano.
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Considere o problema de uma carga q vizinha a uma esfera condutora aterrada, conforme ilustrado na figura
Intuitivamente, pode-se tentar utilizar uma carga imagem, posicionada conforme mostrado na figura, e cujos parâmetros (q´,c) devem ser deteminados. O potencial no exterior da esfera é dado por
Impondo a condição de contorno em R=a, tem-se
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1999-2013 by Eduardo Fontana
Essa equação só pode ser satisfeita se
Manipulando a expressão anterior, vem
Observações:
· O raio da esfera é média geométrica das distâncias
· Se a carga se afasta muito da esfera, a carga imagem se desloca para o centro e seu valor tende a zero
· Se a carga se aproxima da superfície da esfera, o mesmo acontece com a carga imagem e sua magnitude se aproxima daquela da carga exterior
· Pela lei de Gauss, é fácil mostrar que a carga total induzida na esfera aterrada é
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1999-2013 by Eduardo Fontana
· Para o problema interior, a carga imagem e sua coordenada estão relacionadas aos parâmetros da carga original, através das mesmas relações anteriores.
Podem-se mostrar os seguintes resultados:
O potencial é a superposição da solução anterior com a solução da equação de Laplace para a esfera submetida a um potencial V, ou seja,
O problema é resolvido como a superposição de duas soluções:
· Solução para o potencial de uma esfera aterrada com carga q em sua vizinhança, que resulta em uma carga q´ distribuída não-uniformemente, de acordo com a solução já encontrada
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· Solução para o potencial de uma esfera isolada com carga , distribuída uniformemente na superfície da esfera.
A solução é portanto
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