EE982 -ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 7 2013.01 PPGEE-UFPE

EXPANSÃO EM FUNÇÕES ORTOGONAIS

 

 Funções ortogonais:

·       Utilizadas de forma a simplificar a solução de problemas físicos (ex.: PVF em eletrostática, Eq. da onda, Eq. da difusão, Eq. de Schroedinger, etc.)

·       Surgem naturalmente como soluções da equação diferencial que governa o problema físico.

·       Tipo de função depende das coordenadas envolvidas

·       Obedecem a relações simples de completeza e ortogonalidade

·       Podem ser utilizadas como base de decomposição de uma função arbitrária.

 

7.1 Analogia com vetores

 

Considera base de vetores ortonormais  no espaço 3-dimensional.

Produto escalar:

Decomposição de um vetor: , com

                             

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

representa a projeção do vetor  em  e representa o ângulo entre esses vetores. Esse conceito pode ser generalizado para funções, fazendo-se a definição apropriada de produto escalar.

 

7.2 Produto escalar no espaço de funções

 

Sejam as funções complexas f e g da variável real . Define-se o produto escalar por

 

                            

Note-se dessa definição que:

                                    

 

Ortogonalidade: as funções f e g são ortogonais se

 

                                  

 

7.3 Base de funções ortogonais

Seja , n=1, 2, 3, .... um conjunto de funções ortogonais. Então onde  é uma constante que depende do parâmetro n. Podem-se definir funções normalizadas na forma

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

                                        

e essas funções satisfazem portanto a relação de ortogonalidade

                                     

As funções assim definidas formam um conjunto ortonormal de funções no espaço .

 

Em analogia com a decomposição de um vetor em uma base ortonormal, o mesmo pode ser feito para o caso de funções, fazendo-se uso as relações de ortogonalidade. Ou seja, em princípio,  é possível fazer a decomposição

 

                                    

para algum valor grande de N. Os coeficientes podem ser determinados pela minimização do erro,

 

                       

Pode-se mostrar que o mínimo da função, obtido de

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

                                        

ocorre para

 

                       

 

que é o mesmo resultado obtido para a decomposição de um vetor em uma base ortonormal.

 

A aproximação de f como expansão em funções ortonormais torna-se cada vez melhor para .  Nesse regime diz-se que:

 

a expansão converge para f na média.

 

7.4 Completeza

 

As condições para que as funções de base formem um conjunto completo são obtidas diretamente de

 

                                    

Utilizando , vem

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

                                

ou equivalentemente

 

                   

 

               

A última relação é para ser comparada com uma propriedade unívoca da função delta de Dirac.

 

                           

A unicidade da função permite concluir que

 

                         

alternativamente

 

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

                         

 

Todo conjunto completo de funções ortogonais, satisfaz as relações de completeza acima.

7.5 Exemplo: Série de Fourier de senos e cossenos

 

Consideremos o conjunto de funções

 

                             

 

                       

 

                                    

Propriedades:

                                     

                                       

                                     

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Então:

 

               

com

          valor médio de f

                       

                       

7.6 Exemplo: Série de Fourier de exponenciais complexas

 

Consideremos o conjunto de funções

 

                                  

e

Propriedades:

                     

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Completeza

                         

 

7.7 Conjunto contínuo de funções

 

Se o intervalo de definição das funções se tornar ilimitado, o conjunto discreto de funções se torna um contínuo de funções.  As somas nesse caso se transformam em integrais, conforme no exemplo a seguir.

7.8 Integral de Fourier

 

Considera o conjunto de funções ortogonais

 

definidas com  e . Tem-se

 

                       

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Fazendo  define-se:

 

 

,  onde dn=1 é o incremento na variável discreta n.  Assim,

 

 

Fazendo

 

 

e notando que a soma é na realidade a definição de integral, obtém-se

 

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Note-se que

 

                          

 

             

 

logo

                          

 

Completeza:

 

 

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

                          

 

Note que isso pode ser observado como o processo limite

       

O processo está ilustrado no vídeo abaixo


 

7.9 Expansão de funções de duas variáveis

 

Para o caso de funções de duas variáveis definidas por ,  e, por exemplo, os conjuntos discretos de funções ortonormais u e v satisfazendo às relações de ortogonalidade

                       

                       

ou de forma compacta

 Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

a expansão de uma função  é da forma

 

                     

e os coeficientes são obtidos de

           

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana