EE982
-ELETROMAGNETISMO AVANÇADO
AULA 7 2013.01 PPGEE-UFPE
Funções ortogonais:
· Utilizadas de forma a simplificar a solução de problemas físicos (ex.: PVF em eletrostática, Eq. da onda, Eq. da difusão, Eq. de Schroedinger, etc.)
· Surgem naturalmente como soluções da equação diferencial que governa o problema físico.
· Tipo de função depende das coordenadas envolvidas
· Obedecem a relações simples de completeza e ortogonalidade
· Podem ser utilizadas como base de decomposição de uma função arbitrária.
Considera base de vetores ortonormais no espaço 3-dimensional.
Produto escalar:
Decomposição de um vetor: , com
Copyrigth
1999-2013 by Eduardo Fontana
representa a projeção do vetor em e representa o ângulo entre esses vetores. Esse conceito pode ser generalizado para funções, fazendo-se a definição apropriada de produto escalar.
Sejam as funções complexas f e g da variável real . Define-se o produto escalar por
Note-se dessa definição que:
Ortogonalidade: as funções f e g são ortogonais se
Seja , n=1, 2, 3, .... um conjunto de funções ortogonais. Então onde é uma constante que depende do parâmetro n. Podem-se definir funções normalizadas na forma
Copyrigth
1999-2013 by Eduardo Fontana
e essas funções satisfazem portanto a relação de ortogonalidade
As funções assim definidas formam um conjunto ortonormal de funções no espaço .
Em analogia com a decomposição de um vetor em uma base ortonormal, o mesmo pode ser feito para o caso de funções, fazendo-se uso as relações de ortogonalidade. Ou seja, em princípio, é possível fazer a decomposição
para algum valor grande de N. Os coeficientes podem ser determinados pela minimização do erro,
Pode-se mostrar que o mínimo da função, obtido de
Copyrigth
1999-2013 by Eduardo Fontana
ocorre para
que é o mesmo resultado obtido para a decomposição de um vetor em uma base ortonormal.
A aproximação de f como expansão em funções ortonormais torna-se cada vez melhor para . Nesse regime diz-se que:
a expansão converge para f na média.
As condições para que as funções de base formem um conjunto completo são obtidas diretamente de
Utilizando , vem
Copyrigth
1999-2013 by Eduardo Fontana
ou equivalentemente
A última relação é para ser comparada com uma propriedade unívoca da função delta de Dirac.
A unicidade da função permite concluir que
alternativamente
Copyrigth
1999-2013 by Eduardo Fontana
Todo conjunto completo de funções ortogonais, satisfaz as relações de completeza acima.
Consideremos o conjunto de funções
Propriedades:
Copyrigth
1999-2013 by Eduardo Fontana
Então:
com
valor médio de f
Consideremos o conjunto de funções
e
Propriedades:
Copyrigth
1999-2013 by Eduardo Fontana
Completeza
Se o intervalo de definição das funções se tornar ilimitado, o conjunto discreto de funções se torna um contínuo de funções. As somas nesse caso se transformam em integrais, conforme no exemplo a seguir.
Considera o conjunto de funções ortogonais
definidas com e . Tem-se
Copyrigth
1999-2013 by Eduardo Fontana
Fazendo define-se:
, onde dn=1 é o incremento na variável discreta n. Assim,
Fazendo
e notando que a soma é na realidade a definição de integral, obtém-se
Copyrigth
1999-2013 by Eduardo Fontana
Note-se que
logo
Completeza:
Copyrigth
1999-2013 by Eduardo Fontana
Note que isso pode ser observado como o processo limite
O processo está ilustrado no vídeo
abaixo
Para o caso de funções de duas variáveis definidas por , e, por exemplo, os conjuntos discretos de funções ortonormais u e v satisfazendo às relações de ortogonalidade
ou de forma compacta
Copyrigth
1999-2013 by Eduardo Fontana
a expansão de uma função é da forma
e os coeficientes são obtidos de
Copyrigth
1999-2013 by Eduardo Fontana