EE982 -ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 9 2013.01 PPGEE-UFPE

9.1 Separação de variáveis para problemas bi-dimensionais em cilíndricas

Considera problemas bi-dimensionais governados pela eq. de Laplace em coordenadas cilíndricas

Assumindo

na equação diferencial, resulta em

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Utilizando o mesmo argumento da aula anterior, ambos os termos devem ser constantes para que o primeiro membro seja nulo. Seja a escolha

tem-se

Caso 1:

Nesse caso, solução geral é da forma

Caso 2:

A solução geral da segunda equação diferencial é da forma

Para a primeira equação diferencial, pode-se assumir uma série de potências na variável r. Como mostrado a seguir, basta um termo da série para satisfazer a equação diferencial.

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Assumindo portanto

na equação diferencial, tem-se

donde

Portanto,

resultando em

Como antes, para uma dada classe de PVF, será necessário utilizar uma combinação de soluções. O parâmetro , após aplicação das condições de contorno irá assumir um conjunto de valores, e a solução geral pode sempre ser expressa na forma

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Observações:

i. O termo logarítmico irá ocorrer se for colocada uma linha de carga na origem.

ii. Se não houver singularidade na origem então

iii. Se o potencial for finito para então e

iv. Se a região de interesse incluir toda a variação azimutal, i.e., , a unicidade do potencial impõe as condições

Alguns exemplos específicos são ilustrados a seguir.

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Exemplo 9.1: Distribuição de potencial na vizinhança de uma superfície cilíndrica submetida a potencial arbitrário.

Para o PVF ilustrado na figura, pode-se mostrar que a solução no interior ou no exterior pode ser expressa na forma geral

onde é o menor (maior) entre r e a. Essa solução é finita na origem e no infinito. Note-se que as funções (n = 1, 2, 3, ...) e (n = 0,1, 2, 3, ...), no espaço satisfazem às relações de ortogonalidade

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Com essas relações de ortogonalidade, a condição de contorno

ou equivalentemente

é satisfeita para

ou seja,

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valor médio da função

Consideremos por exemplo a situação de eletrodos cilíndricos submetidos às condições de contorno da figura.

Tem-se

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o que fornece

ou seja

Logo, a solução no interior ou no exterior é dada por

Como mostrado na aula anterior é possível obter uma solução fechada para esse problema. Sejam as definições

então

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Utilizando

vem

Definindo

tem-se

Portanto

Como mostrado na aula anterior

e portanto

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com

A variação espacial da função potencial está simulada no vídeo abaixo. Nesse vídeo, a diferença de potencial é variada continuamente entre os eletrodos de um valor positivo para um valor negativo. A distribuição de potencial se assemelha ao perfil de uma membrana elástica esticada por dois objetos semi-circulares acionados em sentidos opostos. Na realidade, a distribuição de alturas de uma membrana nessas condições satisfaz a equação de Laplace.

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Exemplo 9.2: Seja agora o PVF mostrado na figura seguinte.

Para essa situação, a solução com periodicidade na variável não pode ser utilizada, uma vez que é necessário a utilização de funções de base na variável radial para sintetizar a função mostrada na figura.

Para obter um conjunto adequado de funções para o presente problema, seja a constante de separação sendo modificada de acordo com . Com essa substituição,

Para a função radial obtém

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Essa forma não é muito conveniente, pois envolve grandezas complexas e a função potencial é uma função real. Para determinar-se uma forma real alternativa para f , seja a definição