EE982 -ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 11 2013.01 PPGEE-UFPE

11.1 Problemas de Valores de Fronteira com Simetria Azimutal

Com a solução é da forma

Exemplo: Considera s solução dentro ou fora da esfera mostrada na figura

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Pode-se escrever a solução no interior ou no exterior na forma

com representando o menor(maior) entre R e a.

Considere por exemplo a solução do problema dos dois hemisférios, mostrado na figura seguinte

A função é da forma

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

ou equivalentemente, com

Aplicando a condição de contorno em R=a, vem

ou equivalentemente

Como visto anteriormente

o que fornece

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Note-se que a soma de integrais acima é nula para l par. Para l ímpar, tem-se

e portanto

Para o cálculo da integral, usa

o que fornece

Uma vez que , resulta

Uma vez que l é ímpar, é par e os polinômios de Legendre são não nulos na origem.

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Para o cálculo desses valores, usa a relação de recorrência

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Utilizando a relação de recorrência

ou seja, para l ímpar

com

Portanto

ou equivalentemente

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

ou de acordo com a propriedade anterior

ou ainda

Com l ímpar, tem-se, , e portanto

Assim, para o problema interior, a solução se torna

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

e para o problema exterior

11.2 Solução geral a partir da solução em um subdomínio

Uma vez que problemas com simetria azimutal, têm a mesma estrutura de solução geral, i.e., um produto de uma potência de R com um polinômio de Legendre, pode-se obter a solução válida em um sub-domínio, p.ex., no eixo z, como expansão em série de potências nessa variável e a partir daí generalizar a solução. Isso pode ser verificado a partir da solução geral para problemas com simetria azimutal

Note-se que no eixo +z () essa solução reduz-se a

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Assim, a solução geral pode ser obtida a partir da solução particular:

i) Expandindo-se a solução particular em uma série de potências em z

ii) Fazendo-se

iii) Multiplicando-se cada termo na forma da série por

Exemplo: O problema dos hemisférios foi resolvido anteriormente na região, por uma integração envolvendo a função de Green para a esfera. O resultado obtido foi