ELETROMAGNETISMO
AVANÇADO
AULA
15 2013.1
PPGEE-UFPE
Objetivo:
Obter
solução para o potencial na região , dado
Para
resolver esse problema, considera inicialmente
a solução na região limitada por um cilíndro de raio
finito no
semi- espaço , com condições de fronteira especificadas conforme na
figura
seguinte
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo
Fontana
faz parte
da região de interesse:
Solução para
a finito é
,
Obtém
coeficientes da condição
de fronteira em z =
0:
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana
Usa
ortogonalidade das funções senoidais, obtém:
Pode
se mostrar que as funções de Bessel satisfazem a relação de
ortogonalidade (
Morse & Feshbach):
Usa relação
de ortogonalidade,
obtém:
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana
Considera
a solução da Eq. de Laplace para o problema exterior à esfera
de raio a.
A função de
Green foi obtida
pelo método das imagens:
Usa teorema
da adição:
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana
Portanto,
a expansão da função de Green em harmônicos esféricos é dada
por:
O
fator radial é dado
por:
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana
Observações:
Para
obter a função de Green:
Uma esfera usa método
das imagens
Duas esferas resolve a
equação diferencial
para G
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana
Em
coordenadas esféricas:
Expande a
parte angular em
harmônicos esféricos,
Expande G:
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana
Os harmônicos
esféricos
satisfazem a equação:
Para a
igualdade ser
satisfeita :
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana
Solução da
equação diferencial:
Condições
de fronteira:
:
:
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana
Substitui em
(i) e (ii), obtém:
Usa a propriedade de
simetria: ,
Ambos
os membros são constantes pois dependem de variáveis
distintas. Portanto:
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana
A
descontinuidade na derivada da função radial em torno de R=R', é obtida integrando a equação diferencial,
i.e.:
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana
A
função de Green resultante é da forma:
Com =0:
Sobre
a esfera:
Com
a = 0,
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana
Dado
que , a solução para o
potencial é:
O
anel está localizado em , e a densidade de
carga pode ser
representada por:
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana
Obtém A da
condição:
Insere na
equação integral
para , obtém:
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana
Dado
que
,
vem:
Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana