ELETROMAGNETISMO AVANÇADO
AULA 17 2013.1 PPGEE-UFPE
OBJETIVO: Levar em
conta a influência de
meios materiais na determinação do campo eletrostático
macroscópico.
Como
mostrado a seguir:
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Demonstração:
Considera
a contribuição da
distribuição de cargas para o potencial no ponto :
Usa
expansão em harmônicos
esféricos com:
Define
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Os
coeficientes são
denominados
"momentos de multipolo", e os termos
de mais baixa
ordem fornecem as seguintes contribuições para a função
potencial:
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Define
os vários momentos de
multipolo:
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Exemplo: Campo de um dipolo
dirigido ao longo do eixo
z:
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Campo
elétrico:
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Se
o
dipolo está localizado no vetor posição
Considera
uma
distribuição de cargas localizada em uma região de campos
descrita pela
função potencial . A
energia de
interação é
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Se
a
escala de variação de é suave
ao longo do
volume da distribuição, então
Dado que
,
sem
alterar
a expressão da energia, adiciona ao segundo membro o termo
obtém
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Considera
dois
dipolos :
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·
Matéria: composta por átomos, ions ou
moléculas
·
Ponto de vista eletrostático: átomos,
íons ou
moléculas são representados por distribuições de carga
localizadas no vácuo.
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Considera
volume
limitado por superfície , e analisa a contribuição para a função potencial dos termos monopolo
e dipolo:
Define
as
grandezas:
Densidade volumétrica de cargas
livres (monopolos)
Densidade
volumétrica
de dipolos
Em
um
volume diferencial, a carga livre líquida e o momento de
dipolo líquido são
obtidos de:
Integra
sobre
o volume do material, obtém:
Considera
o
termo
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Usa
obtém
A
função potencial é portanto
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A
última integral de volume é transformada em uma integral de
superfície,
utilizando a lei de Gauss, resultando em
Observações:
·
O divergente do vetor polarização
representa uma
densidade de carga equivalente (devido a cargas ligadas) na
determinação da
função potencial
·
A integral de superfície envolvendo a
componente
normal do vetor polarização representa uma densidade de carga
de superfície
equivalente.
·
Se existem cargas livres de
superfície, a
integral de superfície correspondente deve
ser adicionada à expressão anterior
O
divergente do vetor campo elétrico, é dado por
Define
o
vetor densidade de fluxo elétrico,
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Unidades:
Para
meios
lineares, .
Para
meios
lineares define a permissividade elétrica do meio por:
Observações:
·
Meios homogêneos: independe
das
coordenadas
·
Meios isotrópicos: são
colineares
·
Meios não-lineares (p.ex.
ferroelétricos) pode
existir
na ausência de um campo aplicado
·
No vácuo
SUMÁRIO:
Eletrostática
em
meios materiais é descrita pelas equações:
Densidade volumétrica de cargas
livres
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Meio
linear
e isotrópico:
Meio
linear,
homogêneo e isotrópico:
Meio
LHI
Eletrostática
é
obtida fazendo
Em
meios
dielétricos o campo eletrostático é enfraquecido devido às
cargas de
polarização.
Considera
a
fronteira entre meios materiais distintos
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Aplica
lei
de Gauss para o cilindro diferencial, obtém:
Observações:
·
Densidade superficial de cargas
livres só aparece
quando um dos meios envolvidos é um condutor
·
Nna interface entre dois meios
isolantes, a
componente normal do vetor é
contínua.
·
Aa condição de contorno para o vetor
polarização na
interface entre dois meios é obtida da definição:
=
Densidade
superficial de cargas de polarização
·
Se o meio 2 é o vácuo, então
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para
o
cilindro fechado da figura, com , obtém
No limite
obtém
ou
equivalentemente
Essa
equação
implica que e
portanto, a
componente tangencial do vetor campo elétrico é contínua.
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