ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 17 2013.1 PPGEE-UFPE

 

MULTIPOLOS - ELETROSTÁTICA DE MEIOS MACROSCÓPICOS - DIELÉTRICOS

 

 

OBJETIVO:  Levar em conta a influência de meios materiais na determinação do campo eletrostático macroscópico.

 

17.1. EXPANSÂO EM MULTIPOLOS:

                                        

 

Como mostrado a seguir:

 

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Demonstração:

 

Considera a contribuição da distribuição de cargas para o potencial no ponto  :

 

 

Usa expansão em harmônicos esféricos com:

 

Define  

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Os coeficientes  são denominados "momentos de multipolo", e os termos de mais baixa ordem fornecem as seguintes contribuições para a função potencial:

 

 

17.2 MOMENTOS DE MULTIPOLO DE MAIS BAIXA ORDEM:

       

 

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Define os vários momentos de multipolo:

                 

 

                   

 

                  

 

 

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Exemplo:  Campo de um dipolo dirigido ao longo do eixo z:

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Campo elétrico:

 

                             

                                      

                                    

          

 

                      

 

 

     

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*   

 

Se o dipolo está localizado no vetor posição

 

  

                 

 

                                          

17.3. EXPANSÃO DA ENERGIA EM MULTIPOLOS

 

Considera uma distribuição de cargas localizada em uma região de campos descrita pela função potencial .  A energia de interação é

 

 

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Se a escala de variação de  é suave ao longo do volume da distribuição, então

Dado que

                             ,

sem alterar a expressão da energia, adiciona ao segundo membro o termo

obtém

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EXEMPLO: interação entre dois dipolos

Considera dois dipolos :

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17.4 ELETROSTÁTICA EM MEIOS MATERIAIS

 

·       Matéria: composta por átomos, ions ou moléculas

·       Ponto de vista eletrostático: átomos, íons ou moléculas são representados por distribuições de carga localizadas no vácuo.

 

 

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Considera volume limitado por superfície , e analisa a contribuição para a função potencial  dos termos monopolo e dipolo:

Define as grandezas:

Densidade volumétrica de cargas livres (monopolos)

 Densidade volumétrica de dipolos

 

Em um volume diferencial, a carga livre líquida e o momento de dipolo líquido são obtidos de:

 

 

Integra sobre o volume do material, obtém:

 

 

Considera o termo

 

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Usa

 

obtém

 

 

 

A função potencial é portanto

 

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A última integral de volume é transformada em uma integral de superfície, utilizando a lei de Gauss, resultando em

 

 

Observações:

·       O divergente do vetor polarização representa uma densidade de carga equivalente (devido a cargas ligadas) na determinação da função potencial

 

·       A integral de superfície envolvendo a componente normal do vetor polarização representa uma densidade de carga de superfície equivalente.

 

·       Se existem cargas livres de superfície,  a integral de superfície correspondente deve ser adicionada à expressão anterior

 

O divergente do vetor campo elétrico, é dado por

 

 

Define o vetor densidade de fluxo elétrico, 

 

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Unidades:   

 

Para meios lineares, .

 

Para meios lineares define a permissividade elétrica do meio por:

 

Observações:

·       Meios homogêneos:  independe das coordenadas

·       Meios isotrópicos:  são colineares

·       Meios não-lineares (p.ex. ferroelétricos)  pode existir na ausência de um campo aplicado

·       No vácuo

 

 

 

SUMÁRIO:

 

Eletrostática em meios materiais é descrita pelas equações:

                              

 

                                         

                Densidade volumétrica de cargas livres               

                                                 

                                      

                                         

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Meio linear e isotrópico:

Meio linear, homogêneo e isotrópico:

 

                        

Meio LHI  Eletrostática é obtida fazendo

 

Em meios dielétricos o campo eletrostático é enfraquecido devido às cargas de polarização.

 

17.5. CONDIÇÕES DE CONTORNO

 

Considera a fronteira entre meios materiais distintos

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Aplica lei de Gauss para o cilindro diferencial, obtém:

 

 

 

Observações:

 

·       Densidade superficial de cargas livres só aparece quando um dos meios envolvidos é um condutor

·       Nna interface entre dois meios isolantes,  a componente normal do vetor  é contínua.

·       Aa condição de contorno para o vetor polarização na interface entre dois meios é obtida da definição:

 

 

Aplica o teorema de Gauss, obtém

 = Densidade superficial de cargas de polarização

·       Se o meio 2 é o vácuo, então

 

Aplica a equação integral

                               

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para o cilindro fechado da figura, com , obtém

                                      

No limite

 

                                

obtém

 

                                 

 

ou equivalentemente

 

                                   

 

Essa equação implica que  e portanto, a componente tangencial do vetor campo elétrico é contínua.

 

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