ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 18 2013.1 PPGEE-UFPE

18.1. PROBLEMAS DE VALORES DE FRONTEIRA ENVOLVENDO MEIOS MATERIAIS DISTINTOS

Exemplo 1: esfera dielétrica em uma região de campo uniforme

Considera uma esfera dielétrica de raio a e permissividade , colocada em uma região de campo uniforme:

· Qual a distorção produzida nas linhas de campo?

· Qual é o campo no interior da esfera?

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Com , temos de obter a função potencial como solução

da equação de Laplace, .

1. Separa o espaço em duas regiões:

i. Campo uniforme para

ou seja,

ii. Condições de contorno

ou equivalentemente

com

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iv. Simetria azimutal

(finito na origem)

2. Aplica condições de contorno:

(1)

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(2)

A solução de (1) e (2) fornece

Em resumo:

(campo uniforme no dielétrico)

O campo no exterior é a soma do campo uniforme mais o campo induzido que corresponde ao efeito de um dipólo localizado na origem, com momento de dipólo

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O campo no interior da esfera é enfraquecido devido às cargas de polarização que se localizam na superfície. Essas cargas geram um campo interno em oposição ao campo aplicado. A densidade superficial de cargas de polarização pode ser obtida da relação:

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18.2 MÉTODO DAS IMAGENS EM MEIOS MATERIAIS DISTINTOS

Considera a determinação da função potencial quando a distribuição de carga está localizada em um meio dielétrico conforme ilustrado na figura

· Como obter o potencial nas duas regiões?

· Pode-se aplicar o método das imagens nesse caso?

Para obter a solução do problema, notemos que:

Devido a simetria azimutal, usa o sistema de coordenadas cilíndricas. A densidade de carga associada à carga puntiforme localizada em é

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O potencial em cada região pode ser expresso como integral de Fourier-Bessel:

· No meio 1, a função será determinada resolvendo a equação de Poisson.

· No meio 2, a dependência em z da função potencial é da forma pois o potencial é solução da eq. de Laplace, e deve ser finito para .

De volta à equação para , utilizando a relação

com m=0, , obtém

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Insere na equação de Poisson, obtém

Usa laplaciano expresso em cilíndricas, obtém:

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A função de Bessel de ordem zero, satisfaz à equação,

Logo,

Para que as duas expansões sejam iguais, é necessário que os coeficientes da função de bessel em ambos os membros sejam iguais, resultando:

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Para resolver a equação diferencial

(z´= d corresponde à posição da carga discreta)

Soluções:

simetria:

Portanto a solução é da forma:

Descontinuidade na derivada é obtida integrando em torno do ponto z = z' , resultando em:

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a função é da forma:

para determinar o coeficiente , bem como o potencial na região , aplica as condições de contorno em :

(1)

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(2)

Resolvendo (1) e (2), resulta:

Soluções:

usa a expansão:

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obtém:

Na região , obtém:

Com base na expansão da função inversa, resulta em

INTERPRETAÇÃO:

Define as grandezas:

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· Na região , o problema é equivalente à soma dos potenciais da carga original q e carga imagem Q' localizada em , com a região substituida pelo meio 1

· Na região , o problema é equivalente ao potencial gerado por uma carga equivalente Q'', localizada em z=d, também com a região substituida pelo meio 1