ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 19 2013.1 PPGEE-UFPE

19.1 Introdução de um corpo dielétrico em uma região de campo

· Condutores tem cargas fixas ou potenciais fixos

· Sem dielétrico:

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

· Com dielétrico:

permanece inalterada no volume V.

Variação de energia:

Segundo termo:

usa identidade vetorial:

resulta:

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A integral de superfície é realizada sobre as superfícies condutoras carregadas que produzem o campo na região, e pode ser expressa como:

Carga no i-ésimo condutor antes(depois) da inserção do dielétrico

Potencial no i-ésimo condutor antes(depois) da inserção do dielétrico

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· Condutores isolados:

· Condutores mantidos a potenciais fixos:

potencial do i-ésimo condutor

variação de carga no i-ésimo condutor

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Para meio linear com no volume:

Com carga volumétrica nula, temos:

A variação de energia a potencial constante é portanto,

Comparando com a expressão obtida anteriormente, resulta:

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19.2 Polarizabilidade molecular e susceptibilidade elétrica

Para precisa avaliação da susceptibilidade elétrica é necessário definir de que forma o momento de dipolo se relaciona com o campo no material

Assume o meio isotrópico, por simplicidade e define:

p = momento de dipolo do átomo ou molécula

E= Campo real atuando sobre o dipolo

= Campo macroscópico ( campo utilizado nas Eqs. de Maxwell)

= Polarização ( campo macroscópico no contexto das Eqs. de Maxwell)

= Densidade de fluxo elétrico ( campo macroscópico)

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· Os campos utilizados nas Eqs. de Maxwell são macroscópicos pois levam em consideração valores médios de cargas e dipolos em volumes pequenos comparados com a escala de variação dos campos.

· Alguns detalhes de variações em dimensões da ordem da distância entre átomos ou moléculas são desprezados nessa média

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Definições:

Susceptibilidade elétrica: é definida no contexto das grandezas macroscópicas

(meios lineares)

Permissividade elétrica: surge da relação constitutiva

Relação entre momento de dipolo e polarização:

N = Densidade de dipolos

Polarizabilidade: Relação entre o momento de dipolo e o campo real atuando no dipolo

= Polarizabilidade do átomo ou molécula (L³)

Note que o campo que aparece no segundo membro é o campo real atuando no dipolo.

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Qual é o campo real atuando no dipolo?

O campo real pode ser escrito na forma:

Ou seja, é a soma do campo macroscópico com um campo de correção que deve levar em conta o efeito dos dipolos próximos do dipolo sob consideração.

Observações:

O campo médio pode ser escrito na forma:

= campo dos dipolos próximos no ponto de vista macroscópico

= campo dos dipolos distantes no ponto de vista macroscópico

campo elétrico externamente aplicado

A contribuição média inclui cargas externas e os dipolos próximos ou distantes e é na realidade a aproximação assintótica utilizada para calcular o campo de uma distribuição de cargas e dipolos. Essa é derivada da função potencial, já tratada anteriormente,

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O campo real atuando no dipolo pode ser escrito na forma

onde é o campo real devido à contribuição dos dipolos próximos ao dipolo sob consideração. O segundo termo leva em conta os dipolos distantes cuja contribuição assintótica é válida na posição do dipolo sob estudo. Assim, usando as três relações:

Assim, o campo de correção é aquele obtido subtraindo o campo médio dos dipolos próximos do campo real desses dipolos.

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Cálculo de :

· Define uma esfera de raio >> distância entre átomos ou moléculas, com o dipolo no centro da esfera

· Assume que na esfera a polarização é uniforme, o que é razoavel pois em um volume diferencial do ponto de vista macroscópico, as grandezas médias não variam apreciavelmente

O campo da polarização uniforme no centro da esfera é na direção z e pode ser obtido de:

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Logo,

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Para o parâmetro pode mostrar que:

· para cristal cúbico

· para materiais amorfos

· para cristais com outras simetrias

Portanto:

Ou seja, o campo de correção é o campo de despolarização do volume em torno do dipolo

Com esse resultado, a relação entre momento de dipolo e campo aplicado pode ser escrita na forma:

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Usa:

resulta:

donde:

Em termos da permissividade elétrica:

Dado que , vem

donde

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A expressão da polarizabilidade em termos da permissividade é denominada de relação de Clausius-Mossotti que estabelece:

Observações:

· A relação

permite obter o parâmetro microscópico da medida da permissividade (parâmetro macroscópico) e da densidade de dipolos

· Para gases, e ,

· Para sólidos com

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Estimativa da polarizabilidade

Considera modelo simples: Elétron ligado a núcleo do átomo através de força restauradora do tipo elástico:

Força elástica no elétron (atrativa):

k = constante elástica

freqüência natural de oscilação

Força elétrica (atrativa):

( q > 0 )

No equilíbrio:

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Momento de dipólo do átomo:

Polarizabilidade é obtida diretamente:

Se uma dada molécula tem Z partículas carregadas cada uma com carga , massa e freqüência natural ( isso inclui os elétrons de carga negativa e os núcleos de carga positiva), então: