ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 22 2013.1 PPGEE-UFPE

 

 

22.1 Campo B de Distribuição Localizada

 

Considera distribuição localizada de corrente e o efeito magnético por ela produzido

 

 

                      

 

No regime de corrente estacionária:

e na interface entre meios distintos 1 e 2,

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

                                    

 

Na superfície de contato entre a distribuição localizada e o espaço vazio exterior tem-se

 

                                          

Potencial vetor

 

                              

Define esfera de confinamento da distribuição com raio , tal que .  Para pode fazer a expansão

 

               

 

Seja

 

                                ,

 

                                        ,

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

então

       

                                   ,

 

                                   ,

e portanto, até primeira ordem

                          

 

Inserindo esse resultado na expressão integral obtém

             

ou equivalentemente

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

A í-ésima componente do potencial vetor é dada por

 

 

ou, alternativamente

 

       

 

As dependências com a distância permitem identificar:

 

Termo de monopolo magnético

Termo de dipolo magnético

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

 

 

 

 

Análise dos termos:

 

Considera as identidades:

 

                      

 

                                 

e dessas duas

 

                

 

Seja  (notando que ) tem-se

 

                         

 

O resultado acima é válido .

1. Considera o caso . Tem-se:

 

                                           

e a última identidade fornece

 

                               

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

 

 

 

Usa o teorema de Gauss

 

            

Portanto

                             

e o termo de monopolo é nulo,  como esperado.

 

2. Para a análise do termpo de dipolo, note-se que

 

                       ,

com  com a notação em que índices repetidos indicam soma, ou seja,

 

                 

Considerando a identidade vetorial com , tem-se

 

                    

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

ou ainda

 

          

 

Aplica o teorema de Gauss na integral de volume

 

                

Com o emprego da identidade anterior, tem-se

             

 

ou equivalentemente

 

 

                            

 

Portanto

 

                       

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

donde

 

                     

ou ainda, somando as componentes, tem-se

 

                   

Para o segundo membro, considera a identidade

 

 

                   

 

ou equivalentemente,

 

       

 

Utilizando a última relação dada por

 

                   

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

resulta em

 

                

 

Donde

 

 

O potencial vetor

 

                   

é portanto

 

                   

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

Define-se o momento de dipolo da distribuição de corrente pela relação

 

                      

 

A densidade de dipolos pode ser obtida pela integração de volume do vetor magnetização,

                         

 

de forma mais geral, o vetor magnetização de uma distribuição de corrente momento de dipolo da distribuição de corrente pela relação

 

                              

 

Com essas definições, a contribuição de mais baixa ordem de uma distribuição de corrente localizada corresponde ao potencial vetor do dipolo magnético

 

                                   

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

Para determinar o campo B da distribuição localizada, define um sistema de coordenadas com o eixo z alinhado com a direção do vetor momento de dipolo. Tem-se

 

                         

 

 

Utilizando a identidade vetorial

       

 

com  e  vem

 

Notando que

                              

                            

 

                       

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

tem-se

 

                                                         

 

 

Uma vez que , tem-se

 

       

ou ainda

 

          

que é equivalente a

 

 

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

 

 

 

Notando que

 

                                                   

vem

 

                  

logo

 

                         

 

que é idêntico ao campo elétrico do dipolo elétrico no regime assintótico.

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.2 Conexão entre momento de dipolo e momento angular

 

Considera sistema de N partículas conforme figura

 

                        

 

A densidade de corrente é dada por

 

                                            

Dado que para partículas discretas

 

                               

tem-se

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

                             

O momento de dipolo magnético do sistema é

 

       

                 

 

Considerando que a i-ésima partícula tenha massa , tem-se

 

                            

Dado que o momento linear de cada partícula é

                                         

 

tem-se

                               

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

O momento angular de cada particula é dado por

                                       

e portanto

                                   

Para partículas idênticas, por exemplo,

 

                              

 

com

                                       

representando o momento angular do sistema como um todo. A relação  é a conexão clássica entre momento de dipolo elétrico e momento angular.  Essa relação é válida para sistemas de partículas a nível atômico e molecular.  No entanto, essa relação não funciona para o caso de partículas elementares como o elétron,  por exemplo. Isso decorre de efeitos relativísticos e quânticos,  não previstos na teoria clássica.  Para o elétron, por exemplo,

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

                                       

com  sendo o momento angular (spin) do eletron e com o fator g sendo aproximadamente .

 

22.2 Força e torque sobre distribuição localizada de corrente

 

Considera uma distribuição localizada em uma região de campo. Admite que as dimensões da distribuição são pequenas em relação à escala de variação do campo,  conforme ilustrado na figura.

                              

Sobre a distribuição, o campo pode ser expandido na forma

 

 

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

 

Ou seja, os termos de ordem zero e um da expansão do campo são calculados na origem, ou no centro da distribuição, i.e., .  Utilizando a notação compacta, em que índices repetidos representam soma,  a força magnética é dada por

 

                          

 

e a força total é dada por

 

                         

Na aproximação de primeira ordem, tem-se

 

                 

ou equivalentemente, notando que os vetores  são constantes,

 

              

ou equivalentemente

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

        

 

Como mostrado anteriormente

 

                                                 

                                    

 

e portanto

 

                          

Para essa última expressão, considera a identidade vetorial

 

       

 

Com e o segundo vetor representando o campo B, tem-se

 

 

Uma vez que  não atua sobre , tem-se

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

                                      

 

                                     

Note-se também que as fontes do camo B são fontes distantes, e portanto

                                          

Assim

                               

e a força se torna

 

                           

 

Seja agora a identidade vetorial

 

                           

 

com e  vem

 

            

 

O segundo termo do segundo membro é nulo, uma vez que o vetor J não depende do vetor X. Portanto

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

                        

ou equivalentemente

 

                         

 

 

Como mostrado anteriormente

 

           

 

 

Fazendo portanto , obtém-se

 

       

 

e portanto

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

                                                 

                                   

 

Equivalentemente, utilizando as identidades vetoriais

 

       

 

       

com , obtém

 

       

 

       

 

Dado que independe das coordenadas,  e sobre a distriuição de corrente , tem-se

 

                              

 

                                 

e portanto

 

                              

 

e a força pode ser posta na forma

                                      

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

O que permite identificar a energia de acoplamento  entre campo dipolo.  Uma vez que da relação clássica entre força mecânica e energia potencial, i.e.,

 

                                        

 

tem-se a energia potencial magnética dada por

 

                                      

 

Observe que a tendência de um dipolo é alinhar-se com o campo, de forma a minimizar a energia de acoplamento.

 

O torque do campo sobre a distribuição é obtido de

 

 

               

          

Como visto anteriormente

                        

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

Portanto

 

                     

 

Para a segunda integral note-se que

 

 

       

 

Portanto

 

e o torque sobre a distribuição é simplesmente

 

                                         

 

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana