ELETROMAGNETISMO AVANÇADO
AULA 23 2013.1 PPGEE-UFPE
Considera
o efeito magnético produzido por
circuitos de corrente e pela matéria magnetizada.
Corrente
de circuito
Densidade
de
correntes livres
Matéria
Densidade
de dipolos
magnéticos
(magnetização)
Potencial
vetor é:
Na segunda integral usa
juntamente com a identidade
obtém
e o potencial vetor
pode ser posto na forma
ou equivalentemente
A expressão anterior pode ser escrita de duas formas:
1. Apenas o termo de volume:
Se o volume de integração incluir todo o espaço, ou
seja, uma esfera
imaginária de raio infinito. Como nessa superfície não há meio
material, o
termo de superfície é nulo e portanto
A integração acima é realizada em todo o espaço. Uma contribuição
para essa integral é
originada no volume contendo as fontes do potencial vetor. Uma outra
contribuição ocorre na superfície
de separação entre meios de propriedades magnéticas distintas,
o que produz uma
variação abrupta no vetor , conforme ilustrado na figura.
2. Ambos os termos, de volume e de superfície:
Nesse caso, o
volume de
integração é apenas o volume onde estejam as fontes do
potencial vetor.
Descontinuidades do vetor magnetização nas superfícies de
separação entre meios
materiais distintos são levadas em consideração no termo de
superfície. Nesse
caso, o potencial vetor é posto na
forma
Ou seja, o termo de superfície é de fato o resultado do
processo de
integração de volume, levando em conta que há uma variação
abrupta da
magnetização ao se cruzar a superfície do material.
De acordo com essa interpretação, do ponto de vista das equações diferenciais para as grandezas de campo, o potencial vetor pode ser posto na forma
com
representando uma densidade de corrente efetiva, que
leva em conta a
presença da matéria magnetizada. O
segundo termo do segundo membro é a densidade de corrente de
magnetização,
Note-se que o termo de superfície (que também pode ser
derivado das
condições de contorno para o vetor magnetização) é
identificado diretamente do
termo de superfície do potencial vetor, ou seja,
Em resumo, a matéria efetivamente contribui com uma
densidade de
corrente de magnetização no volume e na superfície.
Voltando à expressão do potencial vetor
Dessa expressão tem-se
Dessa expressão tem-se
Definindo
ou equivalentemente a relação constitutiva
com H(A/m) representando o vetor campo magnético. Com essa definição
Em resumo, a forma geral das equações de Maxwell para a magnetostática pode ser posta nas formas:
Diferencial:
Integral:
Relação constitutiva em meios materiais:
= Vetor densidade de fluxo magnético
= Vetor campo magnético
= Densidade de corrente livre (de circuito)
= Vetor magnetização
= Superfície fechada arbitrária
S = Superfície aberta arbitrária
C = Caminho fechado que define S orientado com S à esquerda do percurso de integração.
A
solução de problemas em magnetostática requer
o emprego das condições de contorno para os vetores de campo.
Considera a
geometria da figura
com representando
um
parâmetro resultante da integração na superfície lateral do
cilindro mostrado
na figura. No limite, obtém
Considera
a forma diferencial da lei de Ampère
Integrando
em um volume obtém
Usa a identidade
obtém
Para o cilindro diferencial da
figura tem-se
ou equivalentemente
com representando
um
vetor resultante da integração na superfície lateral do
cilindro diferencial. No
limite tem-se
(densidade
superficial
de corrente livre)
e portanto
A
condição de contorno para o vetor magnetização
é obtida da integração de volume
ou equivalentemente
Para o cilindro diferencial da
figura tem-se
ou equivalentemente
com representando
um
vetor resultante da integração na superfície lateral do
cilindro
diferencial. No
limite tem-se
(densidade
superficial de corrente livre)
e portanto
Essa
relação já tinha sido antecipada
anteriormente para o caso de um meio magnetizável em contato
com o vácuo. Ou
seja, se o meio 1 é o meio com magnetização
e o meio
2 é o vácuo,
com , a condição de contorno fornece
conforme
definido anteriormente.
Ou seja a corrente da magnetização de
superfície surge da descontinuidade na componente tangencial
do vetor
magnetização.
Algumas
técnicas de soluções de PVF em Magnetostática, envolvendo um
ou mais meios
materiais são tratadas na próxima secção. A escolha de uma ou
outra técnica
depende dos tipos de meios envolvidos, da existência ou não de
uma distribuição
de corrente na região de interesse, bem como da geometria do
problema.
Todas
as técnicas baseiam-se nas eqs. de Maxwell para a
magnetostática:
Essas
devem ser resolvidas com o auxílio da relação constitutiva no
meio material:
Para um dado meio
material:
Por exemplo:
·
Meios lineares:
=
Susceptibilidade
magnética do meio
,
=
Permeabilidade
magnética do meio
·
Meios lineares
anisotrópicos:
= Tensor susceptibilidade magnética (3x3)
= Matriz identidade (3x3)
·
Meios não
lineares isotrópicos:
e
são
relacionados em
geral por uma função não-unívoca (histerese):
Considera
distribuição localizada de corrente e
o efeito magnético por ela produzido
De
Da
relação constitutiva
e da
lei de Ampère, obtém
Essa é
uma equação de segunda ordem que pode
ser complicada dapendendo da função
.
Para
meio linear, homogêneo e isotrópico
No
gauge de Coulomb, resultando em
Para
PVF envolvendo vários meios LHI conforme
mostrado na figura, as condições de contorno envolvendo os
vetores B e H devem
ser utilizadas.
Com tem-se
= Potencial escalar magnético
De
tem-se
Essa é
uma equação de segunda ordem que pode
ser complicada dependendo da natureza do tipo de relação
constitutiva no meio
material. Para
meios lineares e
isotrópicos
resultando
em
Se o
meio for homogêneo, obtém-se a equação de
Laplace
Problemas
envolvendo vários
meios LHI podem ser resolvidos com as técnicas de solução da
equação de Laplace
derivadas anteriormente. As condições de contorno são
derivadas das equações de
Maxwell, ou seja,
(o
potencial é contínuo em uma interface entre dois meios LHI)
(relação entre derivadas
normais do potencial
na interface entre dois meios LHI)
Considera os efeitos
produzidos por materiais
com magnetização permanente, como é o caso de materiais
ferromagnéticos. Nesse
caso, e das
equações de
Maxwell
Da
relação constitutiva obtém
Por outro lado
e portanto
com
representando uma densidade de
carga magnética
efetiva, em analogia com a equação de Poisson para a
eletrostática. Note-se que
fornece a lei de Gauss
Carga
magnética
efetiva envolvida medida em (Ampère.metro)
Note-se que na interface no
meio material com o
meio exterior, a lei de Gauss fornece
com
representando
normal
à interface e dirigido do meio 1 para o meio 2. Com
e
obtém
Ou
seja, na interface do
meio magnetizado e o meio externo há uma densidade superficial
de carga
magnética efetiva dada por
(Ampère/metro)
Alguns resultados da
eletrostática podem ser
extendidos para esse tipo de problema. Por exemplo, para a
geometria mostrada
na figura, o potencial escalar magnético, expresso com as
contribuições de
volume e de superfície separadas é simplesmente
com
Nesse ponto de vista, o efeito
da
descontinuidade do vetor magnetização na interface já está
levado em conta no
termo de superfície. Se por outro lado, qualquer variação na
magnetização (
incluindo a variação abrupta na interface do material,
conforme discutido
anteriormente) for levada em conta na operação divergência, o
potencial pode
ser escrito na forma
onde
o volume de integração
é realizado em um volume esférico de raio infinito. Note-se
que efetivamente a
integral reduz-se ao volume do material,
mas a
variação abrupta na
interface é levada em conta nessa representação. Utilizando a
identidade
tem-se
Usando
vem
Utilizando o teorema de Gauss
Como a superfície de
integração é tomada no
infinito, e aí o vetor magnetização é nulo, obtém-se
Note-se que longe da
distribuição de
magnetização, o denominador é praticamente constante e
portanto,
Notanto que o vetor momento de
dipolo é
simplesmente
vem
ou equivalentemente
que tem a forma do potencial
escalar do dipolo
elétrico.
O campo magnético no regime
assintótico é
obtido, definindo o vetor radial
donde
Expandindo o operador nabla em
esféricas,
ou equivalentemente
resultando em
conforme esperado.
Usando
a relação constitutiva
tem-se
Dado que obtém
e no
gauge de Coulomb , obtém
levando em conta a integração
em todo o espaço
ou alternativamente
separando a variação abrupta
da magnetização na
fronteira do material em uma integral de superfície separada,
onde
Considera a determinação do campo produzido pela esfera magnetizada uniformemente conforme mostrado na figura.
As densidades de cargas
magnéticas efetivas são
Obtém
Calcula no eixo z:
Usa
insere na integral, obtém
ou equivalentemente
Usa ortogonalidade (apenas l
=1 fornece
contribuição), obtém
A solução fora do eixo z
é simplesmente
ou equivalentemente
Para :
Campos são
uniformes no interior da esfera
Para :
De
obtém
com representando
o
momento de dipolo magnético da esfera. Assim
Os
campos no exterior
são, em forma exata, aqueles produzidos por um dipolo
magnético na origem.
A expressão em termos das
correntes de
magnetização é
com
Portanto
Por simetria o potencial vetor
não depende da
coordenada azimutal e é um vetor azimutal. Sem perda de
generalidade, pode ser
calculado no semiplano , no qual
. Assim
e portanto
Na integral do segundo membro
a função inversa
é expandida com o emprego do teorema da adição
Notando que
obtém
Utilizando a ortogonalidade
dos harmônicos
esféricos,
donde
ou ainda
e portanto
Logo
Para :
O vetor B é obtido de
Expressando o operador nabla
em cilíndricas,vem
,
,
Para :
ou equivalentemente
que é o potencial vetor de um
dipolo magnético
localizado na origem. O vetor B é obtido de
e como mostrado anteriormente