ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 23 2013.1 PPGEE-UFPE

23.1 Correntes de Magnetização – Vetor campo magnético – Equações de Maxwell para a Magnetostática

 

Considera o efeito magnético produzido por circuitos de corrente e pela matéria magnetizada. 

Corrente de circuito  Densidade de correntes livres

Matéria  Densidade de dipolos magnéticos (magnetização)

 

 

 

 

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

 

Potencial vetor é:

 

Na segunda integral usa

 

               

juntamente com a identidade

 

                           

 

 

obtém

 

 e o potencial vetor pode ser posto na forma

 

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ou equivalentemente

 

A expressão anterior pode ser escrita de duas formas:

 

1. Apenas o termo de volume:

 

Se o volume de integração incluir todo o espaço, ou seja, uma esfera imaginária de raio infinito. Como nessa superfície não há meio material, o termo de superfície é nulo e portanto

 

                

A integração acima é realizada em todo o espaço.  Uma contribuição para essa integral é originada no volume contendo as fontes do potencial vetor.  Uma outra contribuição ocorre na superfície de separação entre meios de propriedades magnéticas distintas, o que produz uma variação abrupta no vetor , conforme ilustrado na figura.

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2. Ambos os termos, de volume e de superfície:

 

Nesse caso,  o volume de integração é apenas o volume onde estejam as fontes do potencial vetor. Descontinuidades do vetor magnetização nas superfícies de separação entre meios materiais distintos são levadas em consideração no termo de superfície.  Nesse caso, o potencial vetor é posto na forma

 

 

Ou seja, o termo de superfície é de fato o resultado do processo de integração de volume, levando em conta que há uma variação abrupta da magnetização ao se cruzar a superfície do material.

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De acordo com essa interpretação, do ponto de vista das equações diferenciais para as grandezas de campo, o potencial vetor pode ser posto na forma

 

 

                            

com

 

                                     

 

representando uma densidade de corrente efetiva, que leva em conta a presença da matéria magnetizada.  O segundo termo do segundo membro é a densidade de corrente de magnetização,

 

                                       

 

Note-se que o termo de superfície (que também pode ser derivado das condições de contorno para o vetor magnetização) é identificado diretamente do termo de superfície do potencial vetor, ou seja,

 

                                       

Em resumo, a matéria efetivamente contribui com uma densidade de corrente de magnetização no volume e na superfície. 

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Voltando à expressão do potencial vetor

 

                            

Dessa expressão tem-se

 

Dessa expressão tem-se

 

                              

 

 

                               

Definindo

 

                                                                       

ou equivalentemente a relação constitutiva

 

                                    

com H(A/m) representando o vetor campo magnético. Com essa definição

 

                                        

Em resumo, a forma geral das equações de Maxwell para a magnetostática pode ser posta nas formas:

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Diferencial:

 

                                         

                                         

Integral:

                                       

                                                 

                                 

 

Relação constitutiva em meios materiais:

 

                                    

 = Vetor densidade de fluxo magnético

 

 = Vetor campo magnético

 

 = Densidade de corrente livre (de circuito)

 

 = Vetor magnetização

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* = Superfície fechada arbitrária

S = Superfície aberta arbitrária

C = Caminho fechado que define S orientado com S à esquerda do percurso de integração.

 

23.2 Condições de contorno

 

A solução de problemas em magnetostática requer o emprego das condições de contorno para os vetores de campo. Considera a geometria da figura

 

                   

 

       

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com  representando um parâmetro resultante da integração na superfície lateral do cilindro mostrado na figura. No limite,  obtém

                                    

 

 

Considera a forma diferencial da lei de Ampère

 

                                         

 

Integrando em um volume obtém

                            

Usa a identidade

 

obtém

                                  

 

Para o cilindro diferencial da figura tem-se

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ou equivalentemente

 

                                                       

com  representando um vetor resultante da integração na superfície lateral do cilindro diferencial.  No limite tem-se

 

   (densidade superficial de corrente livre)

e portanto

 

                                  

 

A condição de contorno para o vetor magnetização é obtida da integração de volume

                          

ou equivalentemente

                               

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Para o cilindro diferencial da figura tem-se

                                                       

ou equivalentemente

 

                                                    

com  representando um vetor resultante da integração na superfície lateral do cilindro diferencial.  No limite tem-se

 

 (densidade superficial de corrente livre)

 

e portanto

                                

Essa relação já tinha sido antecipada anteriormente para o caso de um meio magnetizável em contato com o vácuo. Ou seja, se o meio 1 é o meio com magnetização   e o meio 2 é o vácuo, com , a condição de contorno fornece

 

                             

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conforme definido anteriormente.  Ou seja a corrente da magnetização de superfície surge da descontinuidade na componente tangencial do vetor magnetização.

 

23.3 Tipos de meios materiais

 

Algumas técnicas de soluções de PVF em Magnetostática, envolvendo um ou mais meios materiais são tratadas na próxima secção. A escolha de uma ou outra técnica depende dos tipos de meios envolvidos, da existência ou não de uma distribuição de corrente na região de interesse, bem como da geometria do problema.

 

Todas as técnicas baseiam-se nas eqs. de Maxwell para a magnetostática:

 

 

 

Essas devem ser resolvidas com o auxílio da relação constitutiva no meio material:

 

 

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Para um dado meio material:

 

 

 

 

 

Por exemplo:

 

·       Meios lineares:

                                     

 = Susceptibilidade magnética do meio

 

 ,

 

 = Permeabilidade magnética do meio

 

·       Meios lineares anisotrópicos:

 

                                                                       

= Tensor susceptibilidade magnética (3x3)

                                                                                                

                                                                           

 

                                                                    

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= Matriz identidade (3x3)

 

 

 

·       Meios não lineares isotrópicos:  e  são relacionados em geral por uma função não-unívoca (histerese):

 

 

 

Considera distribuição localizada de corrente e o efeito magnético por ela produzido

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23.4 Uso de potenciais na solução de PVF em Magnetostática

 

A. Uso do potencial Vetor

 

De

 

                                

 

Da relação constitutiva

 

                                        

e da lei de Ampère, obtém

 

                                   

Essa é uma equação de segunda ordem que pode ser complicada dapendendo da função .

 

Para meio linear, homogêneo e isotrópico

 

                                    

 

No gauge de Coulomb, resultando em

 

                                       

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Para PVF envolvendo vários meios LHI conforme mostrado na figura, as condições de contorno envolvendo os vetores B e H devem ser utilizadas.

 

B. Uso do potencial escalar

 

Com  tem-se

 

                             

= Potencial escalar magnético

 

De  tem-se

 

                         

Essa é uma equação de segunda ordem que pode ser complicada dependendo da natureza do tipo de relação constitutiva no meio material.  Para meios lineares e isotrópicos

 

                                        

resultando em

 

                                    

Se o meio for homogêneo, obtém-se a equação de Laplace

 

                                        

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Problemas envolvendo vários meios LHI podem ser resolvidos com as técnicas de solução da equação de Laplace derivadas anteriormente. As condições de contorno são derivadas das equações de Maxwell, ou seja,

 

                            

 

(o potencial é contínuo em uma interface entre dois meios LHI)

 

                      

 

(relação entre derivadas normais do potencial na interface entre dois meios LHI)

 

C. Meios com magnetização permanente:  e dado

 

1. Uso do potencial escalar

 

Considera os efeitos produzidos por materiais com magnetização permanente, como é o caso de materiais ferromagnéticos. Nesse caso,  e das equações de Maxwell

 

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Da relação constitutiva obtém 

                                    

Por outro lado

                             

e portanto

                                     

com

                      

representando uma densidade de carga magnética efetiva, em analogia com a equação de Poisson para a eletrostática. Note-se que

 

                                        

fornece a lei de Gauss

                            

Carga magnética efetiva envolvida medida em (Ampère.metro)

 

Note-se que na interface no meio material com o meio exterior, a lei de Gauss fornece

                                                             

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com  representando normal à interface e dirigido do meio 1 para o meio 2. Com e  obtém

 

Ou seja, na interface do meio magnetizado e o meio externo há uma densidade superficial de carga magnética efetiva dada por

 

                            (Ampère/metro)

 

Alguns resultados da eletrostática podem ser extendidos para esse tipo de problema. Por exemplo, para a geometria mostrada na figura, o potencial escalar magnético, expresso com as contribuições de volume e de superfície separadas é simplesmente

 

                  

com

 

                              

 

                                       

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Nesse ponto de vista, o efeito da descontinuidade do vetor magnetização na interface já está levado em conta no termo de superfície. Se por outro lado, qualquer variação na magnetização ( incluindo a variação abrupta na interface do material, conforme discutido anteriormente) for levada em conta na operação divergência, o potencial pode ser escrito na forma

                           

onde o volume de integração é realizado em um volume esférico de raio infinito. Note-se que efetivamente a integral reduz-se ao volume do material,  mas  a variação abrupta na interface é levada em conta nessa representação. Utilizando a identidade

 

tem-se

 

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Usando

 

                        

vem

Utilizando o teorema de Gauss

 

Como a superfície de integração é tomada no infinito, e aí o vetor magnetização é nulo, obtém-se

 

                         

Note-se que longe da distribuição de magnetização, o denominador é praticamente constante e portanto,

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Notanto que o vetor momento de dipolo é simplesmente

                                   

vem

                          

ou equivalentemente

                                 

que tem a forma do potencial escalar do dipolo elétrico.

 

O campo magnético no regime assintótico é obtido, definindo o vetor radial

 

                                    

donde

                     

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Expandindo o operador nabla em esféricas,

 

                            

ou equivalentemente

 

 

resultando em

 

                         

conforme esperado.

 

2.   Uso do potencial vetor

 

Usando a relação constitutiva

tem-se

 

 

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Dado que  obtém

 

 

e no gauge de Coulomb , obtém

 

 

 

A solução dessa equação é

 

                            

levando em conta a integração em todo o espaço ou alternativamente

 

      

separando a variação abrupta da magnetização na fronteira do material em uma integral de superfície separada, onde

 

                                       

 

                                       

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Exemplo: Esfera magnetizada uniformemente

 

Considera a determinação do campo produzido pela esfera magnetizada uniformemente conforme mostrado na figura.

 

Cálculo através do potencial escalar

 

                                        

 

 

As densidades de cargas magnéticas efetivas são

                               

 

                   

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Obtém

 

                               

Calcula no eixo z:

                                          

                                         

 

Usa

                       

insere na integral, obtém

 

   

                                                 

ou equivalentemente

    

 

Usa ortogonalidade (apenas l =1 fornece contribuição), obtém

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A solução fora do eixo z é simplesmente

 

                

ou equivalentemente

                   

 

Para :

                        

 

                             

                                           

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Campos são uniformes no interior da esfera

 

Para :

 

De

                   

obtém

 

                             

com  representando o momento de dipolo magnético da esfera. Assim

 

                                 

                         

                         

Os campos no exterior são, em forma exata, aqueles produzidos por um dipolo magnético na origem.

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Cálculo através do potencial vetor

 

A expressão em termos das correntes de magnetização é

 

com

 

                        

 

                

 

Portanto

                     

Por simetria o potencial vetor não depende da coordenada azimutal e é um vetor azimutal. Sem perda de generalidade, pode ser calculado no semiplano , no qual .  Assim

 

                           

e portanto

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Na integral do segundo membro a função inversa é expandida com o emprego do teorema da adição

 

 

  

 

Notando que

                          

obtém

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Utilizando a ortogonalidade dos harmônicos esféricos,

donde

      

ou ainda

 

 

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e portanto

                      

Logo

                                                 

 

                      

 

 

Para :

 

             

 

O vetor B é obtido de

                                

Expressando o operador nabla em cilíndricas,vem

 

                    ,

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                ,

 

                      

                     

 

                                        

 

                                         

Para :

 

            

ou equivalentemente

                                     

que é o potencial vetor de um dipolo magnético localizado na origem. O vetor B é obtido de

 

                                         

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e como mostrado anteriormente

                                                 

                         

 

                         

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