ELETROMAGNETISMO AVANÇADO

AULA 24 2013.1 PPGEE-UFPE

24.1 Lei da Indução de Faraday

1830-1831 Faraday realiza um conjunto de experimentos que evidenciam a produção de campos elétricos por campos magnéticos variantes no tempo

Quando a chave é ligada

Quando a chave é desligada

Com a chave mantida fechada com

Variação no tempo do fluxo enlaçado pela espira produz força eletromotriz.

Copyrigth 1999-2013 by Eduardo Fontana

Lei de Faraday

ou equivalentemente

Obs.:

· k não é uma constante arbitrária

· Seu valor pode ser obtido da propriedade de invariância de fenômenos físicos perante transformação galileana

Transformação galileana: Fenômenos físicos são os mesmos quando medidos por dois observadores movendo com velocidade relativa (constante) se as coordenadas satisfazem a:

= Coordenada Espaço-Tempo para observador 1

= Coordenada Espaço-Tempo para observador 2

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Isso é válido no regime . A situação está ilustrada na figura, com para t =0.

Considera a espira movendo com velocidade , conforme ilustrado na figura.

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Observador no circuito mede a grandeza , dada por

Usa

Dado que , , , obtém

Portanto

( é constante)

ou equivalentemente

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Aplicando o teorema de Stokes na primeira integral do segundo membro vem

donde

Da lei de Faraday

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ou equivalentemente

Esse é o resultado medido obtido pelo observador no circuito. O observador no laboratório mede diretamente os campos e ou de forma equivalente, e . Assim, no laboratório, a lsie de Faraday é simplesmente

A invariância das leis perante a transformação galileana implica em

Determinação de k

Para o observador no circuito, uma força elétrica é medida em uma carga dq

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No laboratório

como obtém

o que implica em k =1. Portanto a lei de Faraday é dada pela relação

Para um circuito fixo no laboratório, i.e., , e portanto

A forma diferencial é obtida utilizando o teorema de Stokes, o que fornece

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24.2 Energia no campo magnetostático

Qual a energia armazenada no campo magnético ao se estabelecer uma corrente I no circuito?

Se o estado é atingido a partir de um valor inicial de corrente, há de se considerar que qualquer incremento de corrente produz uma variação de fluxo magnético e conseqüente fem induzida. Essa fem induzida tende a produzir uma corrente de reação. Para que o circuito mantenha a mesma corrente, é necessário que haja um ajuste na tensão aplicada. Se há uma variação de fluxo enlaçado pelo circuito, então

é a fem adicional que aparece no circuito. Ou seja, a tensão efetivamente que surge no circuito é

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Para que a corrente retorne ao valor original, a fonte tem de suprir uma tensão adicional

e a tensão se torna

ou seja, a potência suprida pela fonte para manter a corrente é

ou equivalentemente

Com essa expressão básica é possível determinar o trabalho necessário ao estabelecimento de um estado final de distribuição de corrente e correspondente campo B.

Seja portanto a determinação na energia W, no volume V cuja corrente esteja distribuída com densidade . Admite-se que a distribuição é estacionária e permanece estacionária durante o seu processo de formação, ou seja, no regime quase-estático.

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Como a corrente é sempre estacionária, as linhas do vetor são linhas fechadas, uma vez que . Podemos subdividir o volume em N microcircuitos fechados, como mostrado na figura. Um dado circuito contribui com com uma variação de energia

Da figura tem-se

Dado que tem-se

com representando o caminho fechado da figura. Equivalentemente

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Essa é a contribuição do circuito como um todo. Dessa expressão, podemos identificar que o volume

mostrado na figura, contribui com uma variação de energia

Assim, um volume macroscópico sofre uma variação de energia

A energia necessária para que um estado final é dado por

Note-se que uma das integrais é uma integral de linha no espaço de estados e pode depender da trajetória (histerese), conforme ilustrado na figura

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Para meio linear, seja

com . Nessa situação, o potencial vetor satisfaz às propriedades

e portanto

ou seja

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donde

Essa é a formulação no ponto de vista da fonte do campo.

Para obter a relação geral no ponto de vista do campo, considera a expressão original de variação de energia no volume

No regime quase-estático, usa , obtém

Usa identidade vetorial

ou equivalentemente

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donde

Portanto

Usando o teorema de Gauss, com uma superfície de raio infinito,

Para distribuições localizadas

, ,

e portanto

e a energia no estado final é

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Conforme mencionado anteriormente, a integral envolvendo as grandezas de campo é uma integral de linha realizada no espaço de estados mostrado na figura. O resultado pode depender da trajetória nesse espaço se o sistema exibir histerese ( ou seja, na forma como o campo B é variado até seu valor final).